Busemann-Funktion

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In der Riemannschen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Busemann-Funktion eine Funktion, die den "Abstand zu unendlich fernen Punkten" misst. Sie ist nach Herbert Busemann benannt.

Sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und eine nach Bogenlänge parametrisierte Geodäte. Die Busemann-Funktion ist definiert durch

.

Der Grenzwert existiert, weil monoton wachsend und durch nach oben beschränkt ist.

In gewisser Weise misst den Abstand eines Punktes vom unendlich fernen Punkt .

Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in Rot) und eine zugehörige Horosphäre (in Blau); die Horosphäre hängt nicht von der Geodäte, sondern nur vom Endpunkt ab.

Die Niveaumengen der Busemann-Funktion heißen Horosphären. Im Fall von Flächen werden die (dann eindimensionalen) Horosphären auch als Horozykel bezeichnet.

Die Subniveaumengen für werden als Horobälle bezeichnet. Eine Horosphäre ist also der Rand eines Horoballs.

Den Endpunkt im Unendlichen der die Busemann-Funktion definierenden Geodäten bezeichnet man als Mittelpunkt oder Zentrum der so definierten Horosphären und Horobälle.

ist eine Lipschitz-Funktion mit Lipschitz-Konstante .

Wenn eine Hadamard-Mannigfaltigkeit ist, dann ist zweimal stetig differenzierbar und konkav (für jede Geodäte ).

Dagegen ist konvex, wenn nichtnegative Schnittkrümmung hat. Wenn nichtnegative Ricci-Krümmung hat, dann ist subharmonisch, und wenn eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer holomorpher Bischnittkrümmung ist, dann ist plurisubharmonisch.

  • Herbert Busemann: The geometry of geodesics. Academic Press Inc., New York, N. Y., 1955.