Hyperbolische Ebene

In der Hyperbolischen Geometrie, einem Teilgebiet der Geometrie in der Mathematik, bezeichnet man als hyperbolische Ebene den 2-dimensionalen hyperbolischen Raum $\mathbb {H} ^{2}$, also die 2-dimensionale, einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant $-1$.

Im Sinne des Erlanger Programms lässt sich die hyperbolische Ebene interpretieren als die Geometrie des Paares $(SL(2,\mathbb {R} ),SO(2))$.

Axiomatisch charakterisieren lässt sich die hyperbolische Ebene dadurch, dass sie mit Ausnahme des Parallelenaxioms alle Axiome der euklidischen Geometrie erfüllt und zusätzlich noch das Axiom, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel (d.h. disjunkt) sind.

Andere Verwendungen des Begriffs "Hyperbolische Ebene"

• In der Inzidenzgeometrie ist eine (endliche) hyperbolische Ebene eine (endliche) Menge von "Punkten" H mit gewissen Teilmengen als "Geraden", die folgende Axiome erfüllen:

1. je zwei unterschiedliche Punkte gehören zu genau einer Geraden,

2. wenn ein Punkt P nicht zu einer Geraden l gehört, dann gibt es mindestens zwei zu l disjunkte P enthaltende Geraden,

3. wenn eine Menge von Punkten S drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte enthält sowie alle Punkte auf Geraden durch je zwei in S liegende Punkte enthält, dann ist S=H.

• In der Theorie der Symmetrischen Räume gibt es neben der (in diesem Zusammenhang als reell-hyperbolische Ebene bezeichneten) hyperbolischen Ebene noch die komplex-hyperbolische, quaternionisch-hyperbolische und Cayley-hyperbolische Ebene.
• In den Arbeiten von Helmut Karzel und seinen Schülern bezeichnet "Hyperbolische Ebene" einen angeordneten Inzidenzraum mit einer Kongruenzrelation, der bestimmte Axiome erfüllt. Dieser Begriff axiomatisiert die Anordnungs- und Inzidenzeigenschaften der oben definierten Hyperbolischen Ebene, ohne auf ihre Metrik bezugzunehmen.
• Der 2-dimensionale quadratische Raum $(V,q)$ mit $q(x,y)=xy$ wird als hyperbolische Ebene bezeichnet. Diese Definition steht in keinem direkten Zusammenhang mit der oben definierten.