Idealisiertes Treibhausmodell

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Das idealisierte Treibhausmodell ist ein einfaches Modell zur Bestimmung der Oberflächen- und der Atmosphärentemperatur der Erde oder eines anderen Planeten.

Die Oberfläche der Sonne strahlt Licht- und Wärmestrahlung ab. Die Strahlung entspricht der eines Körpers einer Temperatur von ca. 5.500 °C. Die Erde ist erheblich kälter und strahlt damit bei erheblich längeren Wellenlängen; es ist dies in erster Linie Infrarotstrahlung. Das idealisierte Treibhausmodell fußt darauf, dass bestimmte Gase der Erdatmosphäre für höherfrequente elektromagnetische Sonnenstrahlen (wie z. B. sichtbares Licht) transparent, für die von der Erdoberfläche emittierte niederfrequente Infrarotstrahlung jedoch wenig durchlässig sind. Zu diesen Gasen zählen z. B. Kohlenstoffdioxid und Wasserdampf. Wärme kann also leicht in die Atmosphäre eindringen, wird dort aber teilweise festgehalten.

Das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz besagt, dass jedes Gas der Atmosphäre Energie, die es absorbiert hat, wieder emittieren muss. Die Atmosphäre strahlt folglich im langwelligen Infrarotbereich in alle Richtungen, also auch in Richtung Boden und in Richtung All. Thermisches Gleichgewicht besteht, wenn alle den Planeten erreichende Wärmestrahlung wieder emittiert wird. In diesem idealisierten Modell erwärmen die Treibhausgase die Planetenoberfläche auf eine höhere Temperatur, als ohne sie beobachtbar wäre. Dieser Temperaturversatz führt zu einer verstärkten Abstrahlung, bis letztlich auch der zunächst zurückgehaltene Teil der eingestrahlten Wärme an der Oberseite der Atmosphäre abgestrahlt wird.[1]

Der Treibhauseffekt kann mit Hilfe eine idealisierten Planeten illustriert werden. Es ist ein übliches Lehrbuchmodell.[2]

Der Modellplanet[Bearbeiten]

Der Planet habe eine konstante Oberflächentemperatur Ts und eine Atmosphäre konstanter Temperatur Ta. Für bessere Nähe zur Realität kann daneben auch ein Temperaturunterschied zwischen der Planetenoberfläche und der Atmosphäre angenommen werden. Alternativ kann Ts als die Temperatur der Erdoberfläche und der unteren Atmosphäre und Ta als Temperatur der oberen Atmosphäre betrachtet werden. Um zu rechtfertigen, dass Ta und Ts überall auf dem Planeten konstant sind, werden starke Ozeanströmungen angenommen, die zu einer starken Durchmischung führen. Daneben wird angenommen, dass es weder signifikante tägliche noch saisonale Schwankungen der Temperatur gibt.

Das Modell wird Werte für Ts und Ta finden, so dass die von der Oberseite der Atmosphäre abgegebene Strahlungsleistung gleich der von der Atmosphäre absorbierten Sonnenenergie ist. In Hinblick auf den Planeten Erde ist die von ihm abgegebene Strahlung langwellig und das ankommende Sonnenlicht kurzwellig. Beide Strahlungsströme haben eigene, unterschiedliche Emissions- und Absorptionscharakteristiken. Im idealisierten Modell nehmen wir an, dass die Atmosphäre für Sonnenlicht vollständig transparent ist. Die planetare Albedo αP ist der Teil einfallender Solarstrahlung, der zurück ins All reflektiert wird (da angenommen wird, dass die Atmosphäre für einfallendes Sonnenlicht vollständig transparent ist, ist es egal, ob die Albedo durch Reflexion an der Erdoberfläche, an der Oberseite der Atmosphäre oder einer Mischung aus beidem hervorgerufen wird). Die Flussdichte einfallender Solarstrahlung wird durch die Solarkonstante S0 spezifiziert. Beim Planten Erde beträgt S0 = 1366 W m−2 und αP=0,30. Da die Oberfläche der Erde das Vierfache ihres Querschnitts (=Schatten) ist, ist die einfallende Strahlung S0/4.

Es wird angenommen, dass die Erdoberfläche für langwellige Strahlung einen Emissionsgrad von 1 besitzt (d. h. dass die Erde im infraroten Spektralbereich einen Schwarzkörper darstellt, was eine realistische Annahme ist).

Rechnung[Bearbeiten]

Die Oberfläche emittiert mit einem Strahlungsfluss F, der sich aus dem Stefan-Boltzmann-Gesetz wie folgt errechnet:


F=\sigma T^4

Wobei σ die Stefan-Boltzmann Konstante ist. Für das Verständnis der Wirkungsweise des Treibhauseffekts ist das Kirchhoffsche Strahlungsgesetz elementar. Bei jeder Wellenlänge ist der Absorptionsgrad der Atmosphäre gleich ihrem Emissionsgrad. Von der Erdoberfläche abgegebene Strahlung kann im Vergleich zur Atmosphäre eine leicht verschiedene spektrale Zusammensetzung zeigen. Im Modell wird angenommen, dass der mittlere Emissionsgrad (=Absorptionsgrad) beider Strahlströme bei der Interaktion mit der Atmosphäre identisch ist. Folglich steht das Symbol ε für Emissions- und Absorptionsgrad jedes Infrarotstrahlungsstroms der Atmosphäre.

Idealisiertes Treibhausmodell mit isothermer Atmosphäre. Der blaue Pfeil markiert kurzwelligen solaren Strahlungsfluss, der rote Pfleil stellt den langwelligen, von der Erde emittierten Strahlungsfluss dar. Die Strahlströme werden für eine bessere Visualisierung in der Grafik seitlich versetzt dargestellt; im Modell findet beides am selben Ort statt. Die Atmosphäre wird als Schicht zwischen den gestrichelten Linien dargestellt; sie wechselwirkt nur mit langwelliger Infrarotstrahlung. Eine spezielle Lösung wurde für die Werte ε=0,78 und αp=0,3 angegeben. Sie repräsentiert den Planet Erde. Die Zahlen in Klammern sind die Flussdichten in Prozent von S0/4.
Die Gleichgewichtslösung mit ε=0,82. Eine Erhöhung um Δε=0,04 entspricht einer Verdopplung der Kohlenstoffdioxidkonzentration und der damit einhergehenden Wasserdampfrückkoplung
Die Gleichgewichtslösung ohne Treibhauseffekt: ε=0

Die Strahlungsdichte der die Oberseite der Atmosphäre verlassenden Infrarotstrahlung ist:

(1)   Gesamtabstrahlung an der Oberseite der Atmosphäre (a) nach oben = Abstrahlung der Atmosphäre (a) nach oben + nicht von der Atmosphäre absorbierter Teil der Abstrahlung der Erdoberfläche (s)

(1)  
     F\uparrow =\epsilon \sigma T_a^4 + (1-\epsilon) \sigma T_s^4

Im letzten Term ist ε der Anteil nach oben gerichteter und vom Boden kommender Strahlung, der absorbiert wird, also der Absorptionsgrad der Atmosphäre. Im ersten Term rechts ist ε der Emissionsgrad der Atmosphäre, die Anpassung des Stefan-Boltzmann Gesetzes, um dem Umstand gerecht zu werden, dass die Atmosphäre nicht optisch dicht ist. Folglich übernimmt ε in der Rechnung die Rolle einer sauberen Mischung der beiden Strahlungsströme bei der Berechnung der nach außen gerichteten Flussdichte.

Damit der Netto-Strahlungsfluss an der Oberseite der Atmosphäre = 0 ist, muss gegeben sein:

(2)  − Einstrahlung von der Sonne + Abstrahlung der Atmosphäre (a) nach oben + nicht von der Atmosphäre absorbierter Teil der Abstrahlung der Erdoberfläche (s) = 0

(2)  
-\frac{1}{4}S_0(1-\alpha_p)+\epsilon \sigma T_a^4 + (1-\epsilon) \sigma T_s^4 = 0

Für einen Netto-Strahlungsfluss = 0 an der Erdoberfläche muss gegeben sein:

(3)  Einstrahlung von der Sonne + Abstrahlung der Atmosphäre (a) nach unten − Abstrahlung der Erdoberfläche (s) = 0

(3)  
\frac{1}{4}S_0(1-\alpha_p)+\epsilon \sigma T_a^4 - \sigma T_s^4 = 0

Ein Energiegleichgewicht der Atmosphäre kann entweder von den oben beschriebenen Bedingungen oder unabhängig davon abgeleitet werden:

(4)  Gesamte Abstrahlung der Atmosphäre (a) − Abstrahlung der Erdoberfläche (s) = 0

(4)  
2 \epsilon \sigma T_a^4 - \epsilon \sigma T_s^4 = 0

Man beachte den wichtigen Faktor 2, der sich daraus erbibt, dass die Atmosphäre sowohl nach oben wie auch nach unten abstrahlt. Folglich ist das Verhältnis Ta zu Ts von ε unabhängig. Gleichung (4) kann umgestellt werden zu:

(5)   T_a^4 =  \frac{T_s^4}{2} \qquad \text{bzw.} \qquad T_a = \frac{T_s}{2^{1/4}} = \frac{ T_s}{1{,}189}

Ta kann also als Funktion von Ts ausgedrückt werden. Mit (5) eingesetzt in (2) erhält man eine Lösung für Ts als Funktion der Eingangsparameter:


\frac{1}{4}S_0(1-\alpha_p) = \left( 1-\frac{\epsilon}{2} \right) \sigma T_s^4

oder umgestellt:

(6)  
T_s = \left[ \frac{S_0(1-\alpha_p)}{4\sigma} \frac{1}{1-\frac{\epsilon}{2}} \right]^{1/4}

Eine Lösung kann auch als Funktion der effektiven Temperatur Te angegeben werden. Es ist dies die Temperatur, die die Strahldichte des ausgehenden Infrarotstrahlungsflusses F charakterisiert, unter der Annahme, dass der Strahler ein perfekter Strahler mit F=σTe4 wäre. In diesem Modell ist dies einfach darstellbar. Te ist ebenso die Lösung für Ts für den Fall von ε=0, also einer fehlenden Atmosphäre. In diesem Fall verschwindet der rechte Term in der eckigen Klammer von (6) und (6) wird zu (7):

(7)  
T_e \equiv \left[ \frac{S_0(1-\alpha_p)}{4\sigma}  \right]^{1/4}

Mit der nun in (7) definierten Te ergibt sich eingesetzt in (6)

(8)  
T_s= T_e \left[ \frac{1}{1-\frac{\epsilon}{2}} \right]^{1/4}

Bei einem perfekten Treibhaus, bei dem keine Strahlung von der Oberfläche entweichen kann bzw. ε=1 gilt:

mit (8)  
T_s= T_e 2^{1/4} = 1{,}189 T_e \qquad T_a=T_e

Unter Verwendung der oben angegeben, für den Planet Erde passenden Parameter ergibt sich:

mit (8)   T_e = 255 ~\mathrm{K} = -18 ~\mathrm{C}

Für ε=1:

mit (8)   T_s = 303 ~\mathrm{K} = 30 ~\mathrm{C}

Für ε=0,78:

mit (8)   T_s = 288{,}3 ~\mathrm{K} \qquad T_a = 242{,}5 ~\mathrm{K} .

Dieser Wert von Ts ist zufälligerweise nahe an der häufig unbequellt zitierten Temperaturangabe von 288 K, was behauptetermaßen die „globale durchschnittliche Oberflächentemperatur“ sein soll. ε=0,78 bedeutet, dass 22 % der von der Oberfläche emittierten Strahlung direkt ins All entweicht, was in Übereinstimmung mit der Behauptung ist, dass beim Treibhauseffekt zwischen 15 % und 30 % Strahlung entweicht.

Der aus einer Verdopplung der atmosphärischen Kohlenstoffdioxidkonzentration resultierende Strahlungsantrieb beträgt bei einfacher Parametrierung 3,71 W m−2 Es ist dies auch der vom IPCC angegebene Wert.

Aus der Gleichung für F\uparrow (1) folgt:

 \Delta F\uparrow = \Delta\epsilon \left( \sigma T_a^4 -\sigma T_s^4 \right)

Mit den Werten von Ts und Ta für ε=0,78 ergibt sich für  \Delta F\uparrow = -3,71 W m−2 mit Δε=0,019. Folglich ist eine Veränderung von ε von 0,78 auf 0,80 in Übereinstimmung mit dem Strahlungsantrieb, der aus der Verdoppelung der Kohlenstoffdioxidkonzentration erwächst. Für ε=0,80 beträgt:

 T_s = 289{,}5  ~\mathrm{K}

Folglich sagt dieses Modell eine globale Erwärmung um ΔTs = 1,2 K für eine Verdopplung der Kohlenstoffdioxidkonzentration voraus. Eine Vorhersage eines typischen Klimamodells ergibt eine Erwärmung der Erdoberfläche um 3 K . Dies liegt primär daran, dass Klimamodelle die positive Rückkopplung berücksichtigen, die in erster Linie aus der Wasserdampf-Rückkopplung resultiert. Mit einem einfachen Hilfsmittel kann dieser Effekt berücksichtigt werden. Hierzu wird Δε um 0,02 auf insgesamt Δε=0,04 erhöht. Damit wird dem Effekt einer durch die Erwärmung ausgelösten erhöhten Wasserdampfkonzentration näherungsweise Rechnung getragen. Dieses idealisierte Modell sagt für eine verdoppelte Kohlenstoffdioxidkonzentration dann eine globale Erwärmung um ΔTs = 2,4 K voraus, was mit den Angaben des IPCC in etwa übereinstimmt.

Erweiterungen[Bearbeiten]

Dieses einfache, einschichtige Atmosphärenmodell kann unmittelbar in ein mehrschichtiges Atmosphärenmodell umgewandelt werden. Hierfür müssen die Gleichungen für die Temperaturen in eine Reihe gekoppelter Gleichungen umgeformt werden. Dieses einfache Modell sagt immer eine mit zunehmender Höhe abnehmende Temperatur voraus und die Temperatur aller Schichten nimmt mit steigender Treibhausgaskonzentration zu. Keine dieser Annahmen ist vollständig realistisch: In der realen Atmosphäre steigen die Temperaturen oberhalb der Tropopause an und bei Erhöhung der Treibhausgaskonzentration wird erwartet (und beobachtet), dass die Temperaturen dort sinken. Der Grund ist, dass die reale Atmosphäre nicht für alle optischen Wellenlängenbereiche dieselbe Transmissivität besitzt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Bohren, Craig F.; Clothiaux, Eugene E.: 1.6 Emissivity and Global Warming. In: Fundamentals of Atmospheric Radiation. John Wiley & Sons, Chichester 2006, ISBN 3-527-40503-8, S. 31–41.
  • Petty, Grant W.: 6.4.3 Simple Radiative Models of the Atmosphere. In: A First Course in Atmospheric Radiation, 2nd, Sundog Pub, Madison, Wisconsin 2006, ISBN 0-9729033-1-3, S. 139–143.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. What is the Greenhouse Effect? (PDF; 1,9 MB) Intergovernmental Panel on Climate Change. 2007. Abgerufen am 12. März 2013.
  2. Chapter 2, The global energy balance (PDF; 654 kB), UT course Physical Climatology

Weblinks[Bearbeiten]