Innere Metrik

In der Mathematik misst die innere Metrik oder Längenmetrik die Längen minimaler Verbindungswege zwischen Punkten.

Definition

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Die zu $d$ assoziierte innere Metrik (oder Längenmetrik) $d_{i}$ ist definiert als

$d_{i}(x,y)=\inf L(\sigma )$

für $x,y\in X$, wobei das Infimum über alle rektifizierbaren Kurven $\sigma \colon \left[0,1\right]\to X$ mit $\sigma (0)=x,\sigma (1)=y$ genommen wird und $L(\sigma )$ die durch

$L(\sigma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=1}^{r}d{\big (}\gamma (t_{i-1}),\gamma (t_{i}){\big )}\,\right|\,0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{r}=1,r\in \mathbb {N} \right\}$

definierte Länge der Kurve $\sigma$ ist.

Geodätische metrische Räume

→ Hauptartikel: Geodätischer metrischer Raum

Ein metrischer Raum heißt geodätischer metrischer Raum (auch Längenraum oder innerer metrischer Raum), wenn $d=d_{i}$ ist, also wenn die innere Metrik mit der Metrik $d$ übereinstimmt.

Beispiele

• Es sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und $d$ die durch

$d(x,y):=\inf\{L(\gamma )\mid \gamma \colon [0,1]\to M,\gamma (0)=x,\gamma (1)=y\}$

für $x,y\in M$ definierte Metrik. Wenn $(M,g)$ geodätisch vollständig ist, dann ist $d_{i}=d$. (Siehe Satz von Hopf-Rinow.)

• Es sei $X=\mathbb {R} ^{n}$, $d(x,y)=|x-y|$ für $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ und $S^{n-1}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\colon d(x,0)=1\right\}$. Die Einschränkung von $d$ auf $S^{n-1}$ definiert einen metrischen Raum $(S^{n-1},d{\big |}_{S^{n-1}})$. Die assoziierte innere Metrik auf $S^{n-1}$ ist

$d_{i}(x,y)=\arccos(\langle x,y\rangle )>d(x,y)\ \forall x\not =y$.

Literatur

• Bridson, Martin R.; Haefliger, André: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ISBN 3-540-64324-9

Weblinks

• Urs Lang: Length spaces.