Isogenie

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In der Algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, nennt man einen Homomorphismus \phi: A\rightarrow B von Abelschen Varietäten A und B eine Isogenie, wenn \phi surjektiv ist und einen endlichen Kern besitzt. Gibt es eine Isogenie \phi: A\rightarrow B, so heißen die Abelschen Varietäten A und B isogen.

Definition[Bearbeiten]

Sind A und B Abelsche Varietäten, so sind die folgenden Aussagen über einen Homomorphismus \phi: A\rightarrow B äquivalent[1]:

  • \phi ist eine Isogenie, das heißt \phi ist surjektiv und der Kern von \phi ist endlich.
  • A und B besitzen die gleiche Dimension und \phi ist surjektiv.
  • A und B besitzen die gleiche Dimension und der Kern von \phi ist endlich.

Ist eine (und damit jede) dieser Bedingungen erfüllt, so nennt man A und B isogen.

Der in diesem Artikel behandelte Begriff einer Isogenie Abelscher Varietäten lässt sich verallgemeinern zum Begriff einer Isogenie von Gruppenschemata.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. James Milne: Abelian Varieties. Course Notes, version 2.0, 2008, Proposition 7.1. (englisch)

Literatur[Bearbeiten]