Homomorphismus

Ein Homomorphismus (zusammengesetzt aus altgriech. ὁμός homós ‚gleich‘ und μορφή morphé ‚Form‘; nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus), ist ein Begriff aus der Mathematik, genauer gesagt der Algebra, und bezeichnet eine strukturerhaltende Abbildung.

Homomorphismen werden für viele verschiedene (algebraische) Strukturen definiert. Allgemeine Definitionen, wie sie hier in einer Ausprägung vorgestellt wird, liefert die universelle Algebra.

Definition

Es seien $(A,(f_i))$ und $(B,(g_i))$ zwei algebraische Strukturen vom gleichen Typ und $\sigma_i$ bezeichne für jedes $i$ die Stelligkeit der Verknüpfungen $f_i$ und $g_i.$ Eine Abbildung $\varphi\colon\, A\to B$ ist dann ein Homomorphismus bezüglich der Struktur von $(A,(f_i))$ und $(B,(g_i))$, wenn für jedes $i$ und für alle $a_1,\ldots,a_{\sigma_i} \in A$ gilt:

$\varphi\left(f_i(a_1,\ldots,a_{\sigma_i})\right) = g_i\left(\varphi(a_1),\ldots,\varphi(a_{\sigma_i})\right)$

Beispiele

Einfaches Beispiel

Wählt man sowohl für die Verknüpfung $f_i$ als auch für $g_i$ die Addition, dann folgt, dass die Stelligkeit $\sigma_i=2$ ist, da die Addition zwei Objekte miteinander verknüpft. Es muss in diesem Fall dann für $\varphi$ nur die folgende Relation gelten:

$\varphi\left(a_1+a_2\right) = \varphi(a_1)+\varphi(a_2)$

Ändert man an dem bisherigen Beispiel die zweite Verknüpfung $g_i$ von der Addition zu etwas anderem wie etwa der Multiplikation, dann wird klar, weswegen man den Homomorphismus mit zwei unterschiedlichen Verknüpfungen definiert hat. Damit $\varphi$ dann ein Homomorphismus zwischen den Strukturen $(A,(+))$ und $(B,(\cdot))$ ist, muss dann gelten:

$\varphi\left(a_1+a_2\right) = \varphi(a_1) \cdot \varphi(a_2)$

Weiteres Beispiel zur Erläuterung der Definition

Weil es nicht nur Verknüpfungen gibt, die nur auf zwei Variablen wirken, ist es sinnvoll, eine Definition für Verknüpfungen zu verwenden, die beliebig viele Variablen miteinander verknüpfen. Ein sehr einfaches Beispiel zur Verknüpfung von drei oder mehr Variablen ist ein Vektor mit festgelegter Dimension. Die Dimension des Vektors ist hier die Stelligkeit der Verknüpfung. Es wird nun für $f_i$ die Verknüpfung zum Spaltenvektor und für $g_i$ die Verknüpfung zum Zeilenvektor gewählt. Einen Homomorphismus auf den hierdurch definierten Strukturen stellt $\varphi$ nun dar, wenn das folgende gilt:

$\varphi \left(\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}\right)=\left(\varphi(a_1),\varphi(a_2),\varphi(a_3) \right)$

Ein Homomorphismus gegenüber diesen Strukturen wäre beispielsweise $cT$, wobei $c$ eine Konstante ist und $T$ ein Operator, der den Vektor transponiert.

Bemerkung

Homomorphismen lassen sich allgemeiner als spezielle Morphismen, also strukturverträgliche Abbildungen, definieren. Der Begriff des Morphismus wird wiederum in der Kategorientheorie noch allgemeiner gefasst, diese beiden Morphismus-Begriffe unterscheiden sich hinsichtlich ihrer Eigenschaften und sind nicht austauschbar.

Homomorphismen in einigen algebraischen Strukturen

Beispiele für solche Strukturen sind die Gruppe $(\mathbb Z, +, 0)$ der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung und dem neutralen Element $0$ oder der Körper $(\mathbb R, +, \cdot, 0, 1)$ der reellen Zahlen mit der Addition und Multiplikation.

Gruppenhomomorphismus

→ Hauptartikel: Gruppenhomomorphismus

Eine Abbildung $\varphi\colon\, A\to B$ heißt Gruppenhomomorphismus zwischen den Gruppen $\left(A, \oplus, 1_{\oplus} \right)$ und $\left(B, \otimes, 1_{\otimes}\right),$ wenn für alle $a, b \in A$ gilt:

$\varphi(a \oplus b) = \varphi(a) \otimes \varphi(b).$

Damit lässt sich für einen Gruppenhomomorphismus $\varphi$  leicht zeigen, dass

$\varphi\left(1_{\oplus}\right) = 1_{\otimes},$

denn es gilt

$\varphi(a) = \varphi(a \oplus 1_\oplus) = \varphi(a) \otimes \varphi(1_\oplus).$ Also ist $\varphi(1_\oplus)$ das neutrale Element in $B.$

Für alle $a \in A$ ist $\varphi\left(a^{-1}\right)$ das Inverse zu $\varphi(a),$ d. h.

$\varphi\left(a^{-1}\right) = \varphi\left(a\right)^{-1},$

denn es gilt

$\varphi\left(a^{-1}\right) = \varphi\left(a^{-1}\right)\otimes \varphi\left(a\right)\otimes \varphi(a)^{-1} = \varphi\left(a^{-1} \oplus a\right)\otimes \varphi(a)^{-1} = \varphi\left(1_\oplus\right)\otimes \varphi(a)^{-1} = \varphi(a)^{-1}.$

Ringhomomorphismus

→ Hauptartikel: Ringhomomorphismus

Es seien $(R, +, \cdot)$ und $(S, \oplus, \otimes)$ Ringe und $\varphi\colon R\to S$ eine Abbildung. $\varphi$ heißt Ringhomomorphismus genau dann, wenn

• $\varphi(a+b) = \varphi(a)\oplus \varphi(b)$ für alle $a,b\in R,$ (d. h. $\varphi$ ist ein Gruppenhomomorphismus von $\left( R, +\right)$ nach $(S, \oplus)$),
• $\varphi(a\cdot b) = \varphi(a)\otimes \varphi(b)$ für alle $a,b\in R.$

Besitzen $(R, +, \cdot)$ und $(S, \oplus, \otimes)$ jeweils ein Einselement $1_R$ sowie $1_S,$ so muss ein Ringhomomorphismus $\varphi$ zusätzlich erfüllen:

• $\varphi\left(1_R\right) = 1_S.$

Wenn $x$ invertierbar ist, dann ist $\varphi\left(x^{-1}\right) = \varphi\left(x\right)^{-1}.$

Ist $\varphi\colon\, R \to S$ ein Ringhomomorphismus, so ist der Kern von $\varphi$

$\ker \varphi := \left\{x \in R \mid \varphi(x) = 0_S\right\}$

ein Ideal in $R.$

$\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern trivial ist, d. h. nur die Null enthält.

Wenn $R$ ein Körper ist, dann sind $\{0\}$ und $R$ die einzigen Ideale in $R,$ und damit ist ein Homomorphismus $R \to S$ entweder injektiv oder die Nullabbildung.

Körperhomomorphismus

Ein Ringhomomorphismus zwischen zwei Körpern wird auch Körperhomomorphismus genannt. Er ist immer injektiv.

Positiv-Beispiel

Sei $\varphi\colon \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ eine Abbildung und definiert durch $x \mapsto x$.

$\varphi$ ist ein Körperhomomorphismus und wird als die Einbettung von $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ bezeichnet.

Negativ-Beispiel

Sei $\varphi\colon \mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z}$ eine Abbildung und definiert durch:

$\varphi(0) := 0$

$\varphi(1) := 1$

$\varphi$ ist kein Homomorphismus, da gilt:

$\varphi(1+1) = \varphi(0) = 0 \neq 2 = 1 + 1 = \varphi(1) + \varphi(1)$

K-Homomorphismus

Sind $L/K$ und $L'/K$ zwei Körpererweiterungen und ist der Körperhomomorphismus $\varphi\colon L \rightarrow L'$ eine Fortsetzung der Identität auf $K,$ so nennt man $\varphi$ einen $K$-Homomorphismus.

Vektorraumhomomorphismus

→ Hauptartikel: Vektorraumhomomorphismus

Homomorphismen von Vektorräumen werden auch als lineare Abbildungen bezeichnet. Sie bilden die Grundlage der linearen Algebra.

Weitere Begriffe

Universelle Algebra

Ein Mengendiagramm verschiedener Homomorphismen.

Ein Homomorphismus $\varphi$ heißt:

• Epimorphismus, wenn $\varphi$ surjektiv ist.
• Monomorphismus, wenn $\varphi$ injektiv ist.
• Isomorphismus, wenn $\varphi$ bijektiv.
• Endomorphismus auf $A$, wenn $\varphi \colon A \to A$ ($\varphi$ bildet $A$ in sich selbst ab).
• Automorphismus auf $A$, wenn $\varphi \colon A \to A$ (Endomorphismus) und $\varphi$ bijektiv (Isomorphismus) ist.

Kategorientheorie

Ein Morphismus $\varphi$ heißt:

• Retraktion, wenn es einen Homomorphismus $\psi$ gibt, so dass $\varphi \circ \psi = \mbox{id}$ ist.
• Schnitt, wenn es einen Homomorphismus $\psi$ gibt, so dass $\psi \circ \varphi = \mbox{id}$ ist.
• Epimorphismus, wenn $\varphi$ rechtskürzbar ist.
• Monomorphismus, wenn $\varphi$ linkskürzbar ist.
• Bimorphismus, wenn $\varphi$ ein Epimorphismus und Monomorphismus ist.
• Isomorphismus, wenn $\varphi$ Retraktion und Schnitt ist.
• Endomorphismus auf $A$, wenn $\varphi$ von $A$ nach $A$ abbildet.
• Automorphismus auf $A$, wenn $\varphi \colon A \to A$ ein Isomorphismus ist.

Weblinks

 Wiktionary: Homomorphismus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen