Jordansche Ungleichung

${\frac {2}{\pi }}x\leq \sin(x)\leq x{\text{ für }}x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$

Einheitskreis mit spitzem Winkel x. Um E wird ein zweiter Kreis mit Radius ${\textstyle |EG|=\sin(x)}$ gezeichnet.

$${\begin{aligned}&|DE|\leq |{\widehat {DC}}|\leq |{\widehat {DG}}|\\\Leftrightarrow &\sin(x)\leq x\leq {\tfrac {\pi }{2}}\sin(x)\\\Rightarrow &{\tfrac {2}{\pi }}x\leq \sin(x)\leq x\end{aligned}}$$

Die Jordansche Ungleichung oder Jordan-Ungleichung liefert eine lineare obere und untere Abschätzung der Sinus-Funktion für spitze Winkel. Sie ist nach Camille Jordan benannt.

Ungleichung

Die Jordan-Ungleichung lautet:

${\frac {2}{\pi }}x\leq \sin(x)\leq x{\text{ für }}x\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right].$

Sie wird unter anderem in der Funktionentheorie verwandt. Analytisch lässt sie sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung beweisen. Geometrisch lässt sich ihre Richtigkeit unmittelbar am Einheitskreis mit Hilfe eines zweiten Kreises erkennen (siehe Zeichnung).

Folgerungen, Erweiterungen und verwandte Ungleichungen

Als Folgerung aus der Jordan-Ungleichung erhält man, dass für eine reelle Zahl $x$ mit $0<|x|\leq {\frac {\pi }{2}}$ stets gilt:

${\frac {2}{\pi }}\leq {\frac {\sin(x)}{x}}<1$  .

Nach US-amerikanischen Mathematikern Raymond Redheffer und J. P. Williams ist die verwandte Redheffer-Williams-Ungleichung benannt: Für eine reelle Zahl $x\;(x\neq 0)$ ist stets

${\frac {\sin(x)}{x}}\geq {\frac {{\pi }^{2}-x^{2}}{{\pi }^{2}+x^{2}}}$  .

Literatur

• Serge Colombo: Holomorphic Functions of One Variable. Taylor & Francis 1983, ISBN 0-677-05950-7, S. 167–168
• Feng Qi, Da-Wei Niu, Jian Cao: Refinements, Generalizations, and Applications of Jordan’s Inequality and Related Problems. In: Journal of Inequalities and Applications, Band 2009 (52 Seiten), doi:10.1155/2009/271923
• Meng-Kuang Kuo: Refinements of Jordan’s inequality. Journal of Inequalities and Applications 2011, 2011:130, doi:10.1186/1029-242X-2011-130
• Dragoslav Mitrinović: Analytic Inequalities. Springer Verlag (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 165), Berlin 1970, ISBN 3-540-62903-3, S. 33

Weblinks

• Jordan-Ungleichung im Proof Wiki (englisch)
• Eric W. Weisstein: Jordan’s inequality. In: MathWorld (englisch).
• Jordan- und Kober-Ungleichungen auf cut-the-knot.org