Winkel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Dieser Artikel erläutert den Begriff ebener Winkel in der Geometrie; für weitere Bedeutungen siehe Winkel (Begriffsklärung).

Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird.

Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen wird Scheitelpunkt des Winkels, Winkelscheitel oder kurz Scheitel genannt; die Strahlen heißen Schenkel des Winkels. Ein Winkel kann durch drei Punkte festgelegt werden, von denen einer den Scheitel des Winkels bildet und die beiden anderen auf je einem Schenkel des Winkels liegen.

Die physikalische Größe, die die relative Lage der Strahlen zueinander beschreibt, wird als Winkelweite oder Winkelabstand (Winkeldistanz) bezeichnet, üblicherweise auch verkürzend als Winkel, wenn eine Unterscheidung von dem geometrischen Objekt nicht notwendig ist, beispielsweise in der Physik. Die Größe des Winkels wird mit einem Winkelmaß angegeben.

Die Winkelweite kann auch als Maß einer ebenen Drehung definiert werden.

Zur Unterscheidung vom Raumwinkel wird der hier definierte Winkel auch als ebener Winkel bezeichnet.

Definition[Bearbeiten]

In der Geometrie sind zur Definition des Winkels als Objekt verschiedene Ansätze möglich. Dabei lassen sich zwei Typen unterscheiden:

  • Der ungerichtete Winkel, der durch eine vorzeichenlose Winkelweite gekennzeichnet ist.
  • Der gerichtete Winkel, der über eine Orientierung verfügt, und als Drehwinkel oder Winkelabstand gemessen wird.

Darstellung als Strahlenpaar[Bearbeiten]

Die eingangs angeführte Definition zweier von einem Punkt ausgehenden Strahlen ist in die Anwendungen wie etwa die Koordinatensysteme und deren Achsen eingebunden.

Darstellung als Halbgeradenpaar[Bearbeiten]

Der Winkel ist ein geometrisches Gebilde zweier Halbgeraden.

Seien f, g zwei Geraden, die sich in einem Punkt S schneiden, so teilt der Punkt S die Geraden f, g in Halbgeraden. Je eine Halbgerade von f und g (die Schenkel) zusammen mit S (den Scheitel) bilden einen Winkel.

Über die „ursprünglichen“ Geraden ermöglicht diese Darstellung etwa Betrachtungen über die verschiedenen Winkelpaare.

Darstellung als Teil der Ebene[Bearbeiten]

Der Winkel (besser: das Winkelfeld) ist ein Teilbereich der Zeichenebene, der von zwei Halbstrahlen oder Halbgeraden begrenzt wird. Diese bilden den Rand, und der Rest des Winkelfeldes das Innere.

Die Definition wird im Schulunterricht verwendet und betont das „Körperhafte“ des Gebildes, und dient – über die Festlegung eines Innen- und Außenraums – der Einführung in die Dreiecksgeometrie: Das Dreieck lässt sich als Schnittmenge zweier Winkel mit einem gemeinsamen Schenkel definieren.

Ad hoc ist bei diesen drei Ansätzen der Winkel ein ungerichteter Winkel, erst eine zusätzliche Auszeichnung einer der beiden Halbstrahlen oder Halbgeraden als die „erste“ ermöglicht die Angabe eines gerichteten Winkels.

Darstellung als Drehung[Bearbeiten]

Drehwinkel

Man kann auch sagen, dass ein Winkel durch eine Drehung eines Strahls oder einer Halbgeraden in einer Ebene um seinen bzw. ihren Anfangspunkt entsteht.

Da es zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, den Strahl zu drehen, muss zusätzlich die Drehrichtung angegeben werden:

  • Linksdrehung, gegen den Uhrzeigersinn, auch mathematisch positiver Drehsinn genannt (Winkel ist positiv); im Bild grün dargestellt.
  • Rechtsdrehung, mit dem Uhrzeigersinn, auch mathematisch negativer Drehsinn genannt (Winkel ist negativ); im Bild violett dargestellt.

In der Mathematik ist es üblich, die Drehung gegen den Uhrzeigersinn – also im mathematisch positiven Drehsinn – auszuführen. Wenn die Drehung andersherum erfolgen soll, sollte dieses ausdrücklich angegeben werden.

In der Geodäsie (Vermessungswesen) wird der Winkel im Uhrzeigersinn, also rechtsdrehend von 0 Gon bis 400 Gon gezählt. Da es in der Geodäsie per definitionem keine negativen Winkel gibt, ist der Drehsinn positiv. Analog zur Uhr, auch hier wird von 0 bis 24 h positiv, rechtsdrehend gezählt. Alle geodätischen Messinstrumente werden zur Richtungs- oder Winkelmessung rechtsherum gedreht.

Bezeichnung von Winkeln[Bearbeiten]

Die Angabe eines Winkels erfolgt nach DIN 1302 oder ISO 31-11, neuerdings auch nach ISO 80000-2.

  • Winkel werden meistens mit kleinen griechischen Buchstaben, z. B. \alpha oder \beta, bezeichnet.
  • Ein Winkel \angle fg ist ein Winkel zwischen zwei Halbstrahlen, Geraden, Kanten und ähnlichem. Er wird dann von f ausgehend Richtung g gezählt.
  • Alternativ kann man die drei Punkte angeben, die den Winkel definieren, wobei der Scheitelpunkt immer in der Mitte steht, z. B. Winkel ABC, \angle ABC oder veraltet \widehat {ABC}. Dies bezeichnet den Winkel zwischen [BA] und [BC], wobei [BA] im mathematisch positiven Drehsinn auf [BC] gedreht wird.
  • Im englischen Sprachraum ist auch nur die Angabe des Scheitels \angle B bzw. \hat {B} üblich.

Für den Formelsatz steht das Zeichen »« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2221) zur Verfügung, für den gerichteten Winkel auch »« (TeX \measuredangle, U+2220 MEASURED ANGLE, keine HTML-Entity), die sich beide im Unicode-Block Mathematische Operatoren finden. Das liegende Winkelzeichen entspricht den angloamerikanischen Gewohnheiten, im europäischen Formelsatz ist ein Zeichen üblich, das dem amerikanischen »« U+2222 für den Raumwinkel zum Verwechseln ähnlich sieht. »« findet auch für Neigung und Winkligkeit (Lagetoleranz, DIN EN ISO 1101) Verwendung. Speziell für den rechten Winkel verwendet man »«, einen punktierten Winkel, in der Technik auch ein Quadrat, oder \perp.

Winkelmaße und Maßeinheiten für Winkel[Bearbeiten]

Ausführliche Informationen bietet der Hauptartikel Winkelmaß, Umrechnungen sind bei den einzelnen Maßen zu finden.

Winkelmaß Maßeinheit 1 Vollwinkel = Einheitenzeichen
 - Vollwinkel 1  
 Bogenmaß Radiant 2π rad
 Gradmaß Grad (Bogenminute, Bogensekunde) 360 ° ( ′ ″ )
 Geodätisches Winkelmaß Gon (veraltet: Neugrad) 400 gon g
 Zeitmaß Stunden, Minuten, Sekunden 24 h ′ ″
 - Nautischer Strich 32 ¯
 - Artilleristischer Strich (Schweiz: Artilleriepromille) 6400 mil ( A‰ )
 - Prozent, Promille nichtlinear %, ‰

Weitere Formen der Angabe eines Winkels:

Arten von Winkeln[Bearbeiten]

Nullwinkel 
0^\circ
spitzer Winkel
kleiner als {1 \over 4} Vollwinkel (90^\circ bzw. {1 \over 2} \cdot \pi);
rechter Winkel
gleich {1 \over 4} Vollwinkel: 90^\circ = 100^g = {1 \over 2} \cdot \pi;
stumpfer Winkel
größer als {1 \over 4} Vollwinkel (90^\circ bzw. {1 \over 2} \cdot \pi) und kleiner als {1 \over 2} Vollwinkel (180^\circ bzw. \pi);
gestreckter Winkel
gleich {1 \over 2} Vollwinkel: 180^\circ = 200^g = \pi;
überstumpfer (erhabener) Winkel
größer als {1 \over 2} Vollwinkel (180^\circ bzw. \pi) und kleiner als 1 Vollwinkel (360^\circ bzw. 2 \cdot \pi);
voller Winkel, Vollwinkel (Vollkreis)
360^\circ = 400^g = 2 \cdot \pi.
Kennzeichnung rechter Winkel

Zwischen zwei sich schneidenden Geraden gibt es vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180^\circ. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Jeweils zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich. Der Vollwinkel hat die Besonderheit, dass zwei der Winkel null sind.

Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.

Der Vollwinkel ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen, er besitzt kein Einheitenzeichen.

Spezielle Winkelpaare[Bearbeiten]

Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.

Komplement- oder Komplementärwinkel
Supplement- oder Ergänzungswinkel

Komplementwinkel oder Komplementärwinkel[Bearbeiten]

Zwei Winkel heißen Komplementwinkel oder Komplementärwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90^\circ) ergänzen.

Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel[Bearbeiten]

Zwei Winkel heißen Supplementwinkel (auch: Supplementärwinkel), Ergänzungswinkel oder kurz E-Winkel, wenn sie sich zu 180^\circ ergänzen.

Nebenwinkel

Nebenwinkel[Bearbeiten]

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel.

Nebenwinkel ergänzen sich zu 180^\circ.

Sie sind also Supplementwinkel.

Scheitelwinkel oder Gegenwinkel[Bearbeiten]

Scheitelwinkel

Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel oder Gegenwinkel.

Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.

Stufenwinkel oder F-Winkel[Bearbeiten]

Hauptartikel: Stufenwinkelsatz
Stufen- oder F-Winkel

Schneidet eine Gerade g zwei Geraden h und h', so heißen die Winkel, die auf derselben Seite von g und auf einander entsprechenden Seiten von h bzw. h' liegen, Stufen- oder F-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden h und h' parallel sind, gilt:

Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h, h' von einer weiteren Geraden g so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf derselben Seite von g und auf einander entsprechenden Seiten von h und h' gleich groß sind, so sind die Geraden h und h' parallel.

Wechselwinkel oder Z-Winkel[Bearbeiten]

Wechsel- oder Z-Winkel

Schneidet eine Gerade g zwei Geraden h und h', so heißen die Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten von g und entgegengesetzten Seiten von h bzw. h' liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden h und h' parallel sind, gilt:

Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.

Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h, h' von einer weiteren Geraden g so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von g und unterschiedlichen Seiten von h bzw. h' gleich groß sind, so sind die Geraden h und h' parallel.

Nachbarwinkel oder E-Winkel[Bearbeiten]

Nachbar- oder E-Winkel

Schneidet eine Gerade g zwei weitere parallele Geraden h und h', so bezeichnet man die Winkel, die auf derselben Seite von g, aber auf unterschiedlichen Seiten von h und h' liegen, als Nachbar- oder E-Winkel.

Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180^\circ.

Aus der Ergänzung der Winkel zu 180^\circ kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar h, h' von einer weiteren Geraden g so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel, die auf derselben Seite von g, aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von h und h' liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden h und h' parallel.

Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180^\circ ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die oben genannten Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.

Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln[Bearbeiten]

Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln a)
Winkel mit paarweise rechtwinkligen Schenkeln b)

Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise senkrecht aufeinander stehen, sind gleich groß oder ergänzen sich zu 180^\circ. Vergleiche nebenstehende Abbildungen.

Winkelkonstruktion[Bearbeiten]

Einige Winkel kann man allein mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu gehören der 90 Grad-, 60 Grad-, 72 Grad- und 54 Grad-Winkel, sowie sämtliche Winkel, die durch Verdoppelung, Halbierung, Addition oder Subtraktion (siehe unten) dieser Winkel entstehen.

Nicht jeder Winkel kann mit Zirkel und Lineal gedrittelt werden.

Konstruktion des 90-Grad-Winkels (rechten Winkels)[Bearbeiten]

Man konstruiert genauer gesagt die Senkrechte zu einer bereits gegebenen Strecke s.

Konstruktion (für vorgegebenen Schnittpunkt P auf s)
Zeichne eine auf der Strecke s liegende Gerade g. (Falls s groß genug für die folgende Konstruktion ist, ist eine Erweiterung zu einer Geraden nicht nötig.) Zeichne einen Kreis um P mit beliebigem Radius. Dieser Kreis schneidet g in zwei Punkten. Zeichne um diese beiden Punkte jeweils einen Kreis. Die Radien der beiden Kreise müssen so gewählt sein, dass sich die Kreise in zwei Punkten schneiden. Verbinde die beiden Schnittpunkte dieser Kreise durch eine Gerade. Die so gezeichnete Gerade schneidet g im rechten Winkel und zwar genau im Punkt P.
Konstruktion (ohne vorgegebenen Schnittpunkt)
Zeichne eine auf der Strecke s liegende Gerade g. (Falls s groß genug für die folgende Konstruktion ist, ist eine Erweiterung zu einer Geraden nicht nötig.) Wähle zwei Punkte M_1 und M_2 auf der Geraden, und zu diesen zwei Punkten zwei Kreisradien groß genug, dass die entsprechenden Kreise um M_1 und M_2 sich in zwei Punkten – im Weiteren S_1 und S_2 genannt – schneiden. Zeichne diese beiden Kreise (sie müssen nur soweit gezeichnet werden, dass die beiden Schnittpunkte erkennbar werden). Zeichne die durch die beiden Schnittpunkte S_1 und S_2 gehende Gerade. Diese Gerade wird die Gerade g senkrecht schneiden.
Ratschlag
Man braucht die Kreise nicht ganz zu schlagen; es reicht, für jeden Kreis entweder einen durchgehenden Bogenabschnitt zu ziehen, der beide Schnittpunkte enthält, oder auch nur zwei kleinere Bogenabschnitte, die jeweils einen der Schnittpunkte enthalten.
Faustregel fürs Zeichnen
Prinzipiell wird der rechte Winkel umso genauer, je größer der Abstand der beiden Schnittpunkte voneinander ist. Denn mit größerem Abstand werden die Auswirkungen von solchen Fehlern kleiner, die dadurch entstehen, dass die neugezeichnete Gerade oder auch schon die gezeichneten Schnittpunkte nicht genau mit den idealen Schnittpunkten übereinstimmen. Also kann man die Genauigkeit des rechten Winkels oder des Zusammentreffens mit dem Punkt P zunächst verbessern, indem man die Kreisradien vergrößert.
Jedoch andererseits wird die genaue Erkennbarkeit der Schnittpunkte immer geringer, je flacher sich die Kreise schneiden, was umso mehr der Fall ist, je weiter die Kreisradien von einem Idealradius entfernt sind, bei dem sich die Kreise senkrecht schneiden (d. h. die Tangenten in den Schnittpunkten schneiden sich senkrecht) und der sich aus dem Abstand der beiden Kreismittelpunkte ergibt. Also muss man, soweit möglich, neben den Kreisradien auch den Abstand der Kreismittelpunkte voneinander variieren, so dass sich die Kreise möglichst senkrecht schneiden. Das ist genau dann der Fall, wenn für die Radien r_1 und r_2 der beiden Kreise und die gedachte Verbindungsstrecke m der zugehörigen beiden Kreismittelpunkte gilt:
r_1^2 + r_2^2 = m^2    oder    r = \frac{m}{\sqrt{2}}  für  r = r_1 = r_2.
Für die konkrete Zeichnung ist es letztlich immer ratsam – im Rahmen der praktischen Zeichenbeschränkungen durch Größe der Zeichenfläche, andere Zeichnungsobjekte etc. – wenigstens ein Paar von möglichst klar erkennbaren Schnittpunkten und ein Paar von möglichst weit voneinander entfernten Schnittpunkten, die zumindest schätzungsweise noch gut erkennbar sind, zu zeichnen. (Das bringt natürlich nur dann einen zusätzlichen Nutzen, wenn die beiden Punktepaare eine erhebliche Unterschiedlichkeit voneinander besitzen.) Ein möglichst rechtwinkliges Punktepaar kriegt man (gemäß der letzten Formel) z. B. dadurch hin, dass man für beide Kreise einen Radius wählt, der etwa 30 % (etwa ein Drittel) kleiner als der Abstand m der Kreismittelpunkte ist (entspricht m\cdot 70%\approx m\cdot 1/\sqrt 2). Man kann beliebig viele zusätzliche Punktepaare zeichnen, durch die die Gerade letztlich alle gehen muss, bis einem die Genauigkeit hinreichend groß erscheint.

Folgerung (Streckenhalbierung, Mittelsenkrechte)[Bearbeiten]

Man halbiert eine gegebene Strecke, indem man Kreise mit identischem Radius, deren Radius größer ist als die Hälfte der Strecke bzw. die sich in zwei Punkten schneiden, um die Endpunkte dieser Strecke zieht. Verbindet man nun die Schnittpunkte, die beide Kreise miteinander haben, so schneidet diese Verbindungslinie die Gerade genau in der Mitte und im rechten Winkel. Infolgedessen wurde eine Mittelsenkrechte konstruiert. (Eine Streckenhalbierende, die nicht senkrecht durch die Strecke geht, erhält man durch entsprechende Konstruktion mit schräg zur Strecke gestellten Ellipsen. Stehen die Ellipsen nicht schräg, erhält man wieder eine Mittelsenkrechte.)

Konstruktion eines 60-Grad-Winkels[Bearbeiten]

Man konstruiert um den Scheitelpunkt auf einer gegebenen Strecke einen Kreis und trägt ausgehend vom Schnittpunkt zwischen Kreis und Strecke einmal den Radius des Kreises auf dem Kreis selbst ab. Die Verbindung zwischen Scheitelpunkt und dem so konstruierten Schnittpunkt schließt mit der gegebenen Gerade einen 60-Grad-Winkel ein.

Konstruktion
Man nehme einen beliebigen Abstand in den Zirkel, steche im Scheitelpunkt ein und schlage einen Kreis. Den Abstand behalte man im Zirkel und steche dann im Schnittpunkt zwischen Kreis und gegebener Gerade ein und zeichne einen weiteren Schnittpunkt mit dem Kreis. Man verbinde diesen Schnittpunkt und den Scheitelpunkt durch eine Linie mittels Lineal.

Folgerung (Konstruktion gleichseitige Dreiecke)[Bearbeiten]

Verbindet man zusätzlich den im ersten Schritt konstruierten Schnittpunkt auf der gegebenen Strecke mit dem zuletzt konstruierten Schnittpunkt, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck. Dieses hat folglich drei gleich große Winkel von je 60 Grad.

Muss man also ein gleichseitiges Dreieck aus gegebener Seitengröße konstruieren, so zeichne man eine Linie, nehme die Seitengröße in den Zirkel, und schlage um einen beliebigen Punkt auf der Linie einen Kreis. Man sticht auf dem Schnittpunkt zwischen Kreis und Linie ein und trägt so die Seitenlänge auf dem Kreis selbst ab. Nun verbinde man den zuletzt konstruierten Punkt mit beiden Einstichpunkten.

Folgerung (Konstruktion von Sechsecken)[Bearbeiten]

Trägt man auf einem beliebigen Kreis den Radius, den der Kreis selbst hat, mit dem Zirkel ab, so erhält man, wenn man alle auf dem Kreis nebeneinanderliegenden Schnittpunkte durch eine Gerade verbindet, ein regelmäßiges Sechseck (Hexagon).

Dieses liegt daran, dass wenn man den Kreismittelpunkt mit den Ecken des Sechsecks verbindet jeweils 6 gleichseitige Dreiecke erhält, deren Winkel am Kreismittelpunkt jeweils 60 Grad betragen. 6 \cdot 60^\circ = 360^\circ, also ein Kreis gleichschenkliger Dreiecke, deren Besonderheit ist, auch noch gleichseitig zu sein.

Konstruktion eines 72- oder 54-Grad-Winkels[Bearbeiten]

Für die etwas exotischere Konstruktion des 72°- oder des 54°-Winkels konstruiert man ein regelmäßiges Fünfeck.

Addition und Subtraktion von Winkeln[Bearbeiten]

Jeder Winkel lässt sich zu einem anderen Winkel konstruktiv addieren und subtrahieren. Möchte man einen ersten zu einem zweiten Winkel addieren bzw. subtrahieren, das heißt den zweiten Winkel um die Größe des ersten vermehren bzw. vermindern, so zeichnet man zunächst um die Scheitelpunkte der beiden Winkel jeweils einen für beide Winkel gleich großen Kreis. (Es reicht in beiden Fällen auch ein Kreisbogen, der beide Schenkel des jeweiligen Winkels schneidet. Beim zweiten Winkel muss der Kreisbogen zudem so groß sein, dass er auch noch den zu addierenden bzw. subtrahierenden Winkel, dort, wo er später abgetragen wird, umfassen kann. Analog reicht auch eine größere Zahl noch kleinerer Kreisbögen, die lediglich die benötigten Schnittpunkte kenntlich machen.)

Nun greift man beim ersten Winkel den Abstand der beiden Schnittpunkte von Kreis und Schenkeln mit dem Zirkel ab und trägt diesen auf dem Kreisbogen des zweiten Winkels ab. Für Letzteres sticht man den Zirkel in denjenigen Schnittpunkt von Kreis und Schenkel des zweiten Winkels ein, ab dessen Schenkel man den ersten Winkel addieren bzw. subtrahieren möchte. Daraufhin trägt man mit dem Zirkel den eingestellten Abstand auf dem Kreisbogen des zweiten Winkels ab – und zwar entweder vom Winkel weg (in Richtung „Winkeläußeres“), wenn man addieren möchte, oder aber zum Winkel hin (in Richtung „Winkelinneres“), wenn man subtrahieren möchte. Danach zeichnet man einen Strahl vom Scheitelpunkt des zweiten Winkels durch den eben konstruieren Punkt des Kreisbogens. Dieser Strahl bildet zusammen mit demjenigen Schenkel des zweiten Winkels, in den man nicht eingestochen hatte, die Schenkel des nun konstruierten Summen- bzw. Differenzwinkels.

Winkelteilungen[Bearbeiten]

Winkelhalbierung[Bearbeiten]

Ein Winkel besteht stets aus zwei Schenkeln, die sich im Scheitelpunkt treffen. Zieht man nun zwei gleich große Kreise auf je einem Schenkel durch den Scheitelpunkt, so bildet die Strecke zwischen den Kreisschnittpunkten die Winkelhalbierende. Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden ist gleich weit von den Schenkeln entfernt.

Konstruktion
Man nehme einen Abstand in den Zirkel und steche am Scheitelpunkt ein. Man zeichne so die Schnittpunkte mit den beiden Schenkeln ein. Nun behält man den Abstand im Zirkel, sticht an je einem der Schnittpunkte ein und schlägt um sie je einen Kreis. Man verbinde beide Schnittpunkte durch eine Linie mit dem Lineal und erhält so die Winkelhalbierende.

Dreiteilung[Bearbeiten]

Die allgemeine Dreiteilung des Winkels ist mit euklidischen Werkzeugen nicht möglich. Es gibt jedoch (Hand-) Zeichengeräte (z. B. Tomahawk) für diese Aufgabe.

Beliebige Teilung[Bearbeiten]

Die beliebige Teilung erfordert ein Hilfsmittel mit dem ein Winkel proportional auf eine Strecke abgebildet werden kann und umgekehrt, beispielsweise eine Schablone, mit einer als Archimedische Spirale geformten Kante. Damit lässt sich eine Winkelteilung in eine Streckenteilung überführen.

Folgerung (allgemeine Winkelkonstruktionen)[Bearbeiten]

Konstruiert man die obigen Winkel (90°, 60°, 72° oder 54° oder deren Summen bzw. Differenzen), so lassen sich aus diesen per Winkelhalbierung weitere Winkel (45°, 30°, 36° und 27° oder den zugehörigen Summen bzw. Differenzen) konstruieren, die und deren Abkömmlinge sich wieder halbieren lassen. Generell lassen sich alle ganzzahligen Winkel konstruieren, die ein Vielfaches von 3° sind.

Winkelmessung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Winkelmessung

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Winkel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Winkel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Winkel für Schüler erklärt