Kanonische Korrelation

Die kanonische Korrelation ist ein Maß für die wechselseitige Abhängigkeit zweier Gruppen von (Zufalls-)Variablen. Die kanonische Korrelationsanalyse dient als Instrument der multivariaten Statistik der Analyse dieses Zusammenhangs. Die kanonische Korrelationsanalyse wurde im Jahr 1935 von Hotelling vorgestellt.

Ziele

Strukturentdeckung

Da primär als Instrument der explorativen Statistik entwickelt, dient sie in erster Linie der Aufdeckung interessanter Strukturen in den Daten, hier der Aufdeckung interessanter Beziehungen zwischen Mengen von Variablen in einem gegebenen Datensatz. Im Gegensatz zum einfachen Bravais-Pearson Korrelationskoeffizienten interessiert nicht die Abhängigkeit zwischen zwei einzelnen Variablen, sondern zwischen zwei Sätzen von Variablen.

Dimensionsreduktion

Ein weiteres Einsatzgebiet der kanonischen Korrelationsanalyse ist die Reduzierung der Dimension des untersuchten Datensatzes durch die Verwendung der kanonischen Variablen mit der höchsten Korrelation anstatt der ursprünglichen, den kanonischen Variablen zugrundeliegenden Variablen. Wichtig ist, dass die kanonischen Variablen gut und möglichst eindeutig interpretierbar sind, da es durch die Ersetzung der ursprünglichen Variablen sonst zu Interpretationsproblemen kommt.

Vorgehen

Untersucht werden zwei Mengen von Zufallsvariablen $X=(X_{1},\ldots ,X_{p})$ und $Y=(Y_{1},\ldots ,Y_{q})$.

Das Ziel der (linearen) kanonischen Korrelationsanalyse ist die Aufdeckung geeigneter kanonischer Variablen, d. h. geeigneter Linearkombinationen der Variablen jeweils einer Variablenmenge. Aus den kanonischen Variablen wird der kanonische Korrelationskoeffizient bestimmt, der den Grad der wechselseitigen linearen Abhängigkeit zwischen den kanonischen Variablen und damit zwischen den Sätzen von Zufallsvariablen angibt.

Man betrachtet die Linearkombinationen

$F_{X}=u_{1}X_{1}+u_{2}X_{2}+\ldots +u_{p}X_{p}=\mathbf {uX}$

und

$F_{Y}=v_{1}Y_{1}+v_{2}Y_{2}+\ldots +v_{q}Y_{q}=\mathbf {vY}$.

Gesucht werden diejenigen Gewichtungsvektoren $\mathbf {u}$ bzw. $\mathbf {v}$, die die Korrelation zwischen $F_{X}$ und $F_{Y}$ maximieren.

Es werden orthogonale Faktorenpaare extrahiert, die sukzessiv weniger untereinander korrelieren. Das Ziel ist die maximale Kovarianzaufklärung (ähnlich der PCA, die die sukzessiv maximale Varianzaufklärung zum Ziel hat). Die Korrelation zwischen dem ersten Faktorenpaar, d. h. demjenigen mit der höchsten Korrelation, ist die erste kanonische Korrelation. Insgesamt können $\min(p,q)$ Faktorenpaare extrahiert werden, da maximal so viel Faktoren extrahiert werden können, wie Variablen in einer Gruppe vorhanden sind.

Kennwerte

Zur Beurteilung der Lösung können verschiedene Kennwerte errechnet werden.

Redundanzmaße

Redundanzmaße geben an wie überflüssig (redundant) eine Erhebung bzw. ein Variablensatz ist, wenn die Beobachtungen aus dem zweiten Variablensatz bekannt sind. Anders ausgedrückt, Redundanzmaße besagen, wie viel Varianz eines Variablensatzes durch den jeweils anderen Variablensatz erklärt wird.

Eigenschaften

Der Wertebereich des kanonischen Korrelationskoeffizienten ist [0,1].

Zusammenhang mit anderen Verfahren

Viele andere multivariate Verfahren sind Spezialfälle der kanonischen Korrelationsanalyse oder stehen in engem Zusammenhang zu ihr.

Besteht eine Variablenmenge aus nur einer einzigen Variablen, entspricht der kanonische Korrelationskoeffizient dem multiplen Korrelationskoeffizienten. Bestehen beide Mengen jeweils aus nur einer Variablen, sind kanonischer Korrelationskoeffizient und Absolutwert des einfachen (Bravais-Pearson-)Korrelationskoeffizienten identisch.

Das Modell der kanonischen Korrelationsanalyse kann als Pfadmodell mit zwei latenten Variablen und den jeweiligen Indikatorsätzen X bzw. Y gesehen werden.

Ist die Richtung des Zusammenhangs zwischen den Variablensätzen aus theoretischen Überlegungen bekannt, so ist eine multivariate Regressionsanalyse einsetzbar, d. h. eine Regressionsanalyse mit mehreren abhängigen Variablen.

Auch Faktorenanalyse, Diskriminanzanalyse, Varianzanalyse und viele andere multivariate Verfahren stehen in engem Zusammenhang mit der kanonischen Korrelationsanalyse.

Anwendung

Anwendung findet die kanonische Korrelationsanalyse z. B. bei der Analyse latenter Variablen, die durch mehrere messbare Variablen operationalisiert werden. Ein Beispiel ist die Messung des Zusammenhangs der Ergebnisse eines Persönlichkeitstests mit denen eines Leistungstests.

Prozeduren zur kanonischen Korrelationsanalyse sind in vielen Statistikprogrammen integriert, z. B. in GNU R mittels der Funktion cancor() aus dem Paket stats.