Kollinearitätsgleichung

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Die Kollinearitätsgleichung beruht auf den mathematischen und geometrischen Grundlagen der kollinearen Abbildung. Ein typisches Beispiel für eine kollineare Abbildung ist die Zentralprojektion. Dabei werden Gerade wieder auf Gerade abgebildet, Teilungsverhältnisse bleiben erhalten.

Anwendungsgebiete der Kollinearitätsgleichung finden sich auf allen Gebieten der Optik und der optischen Bildaufzeichnung, speziell in der optischen Vermessung, der Photogrammetrie und anderer indirekter Messtechniken (z. B. Fließgeschwindigkeit eines Gewässers, Biegefestigkeit von Materialien). Meist wird von den aufgezeichneten Bildpunkten auf die Koordinaten der beobachteten Objektpunkte rückgerechnet. Bildpunkt, Projektionszentrum und beobachteter Objektpunkt liegen dabei auf einer Geraden.

Bei bekannten 3D-Koordinaten der Objektpunkte lassen sich deren Bildkoordinaten berechnen. Das entspricht der fotografischen Abbildung der Objektpunkte bei bekannter Kameraposition. Der Berechnung liegt das Modell einer Lochkamera zugrunde die im Idealfall die technische Umsetzung der Zentralprojektion darstellt. Als mathematische Formulierung der Zentralprojektion dienen die Kollinearitätsgleichungen für die Transformation der einzelnen Koordinaten der Punkte. Dabei wird im Wesentlichen mit einer 3x3-Rotationsmatrix multipliziert:

Lichtstrahlen fallen durchs Loch einer Lochkamera
Die Punkte P, Q und R werden durch das Projektionszentrum C auf die Ebene S projiziert
x- und z-Achse der Projektion von P durch das Projektionszentrum C

Es sei xyz ein Koordinatensystem mit die x- und y-Achse im Bildfläche. Der Punkt P wird mittels einer Zentralprojektion auf die Bildfläche abgebildet. Der abzubildende Punkt P hat in diesem System die Koordinaten  x_P,y_P,z_P, das Bild von P die Koordinaten x und y , und das Projektionszentrum die Koordinaten x_0,y_0,z_0. Bei einer Zentralprojektion gibt es ein festes Verhältnis \lambda zwischen

x-x_0 und x_0-x_P,
y-y_0 und y_0-y_P

und

z_0=c und z_P-z_0,

mit c die Entfernung des Projektionszentrums von der Bildfläche. Also:

x-x_0=-\lambda (x_P-x_0)
y-y_0=-\lambda (y_P-y_0)
c=\lambda (z_P-z_0),

Auflösung von \lambda aus der letzten Gleichung und Substitution in den zwei anderen Gleichungen liefert das Ergebnis:

x-x_0=-c\ \frac{x_P-x_0}{z_P-z_0}
y-y_0=-c\ \frac{y_P-y_0}{z_P-z_0}

Der Punkt P ist gewöhnlich bestimmt durch die Koordinaten X, Y und Z in irgendeinem Koordinatensystem "außerhalb" der Kamera. In diesem System hat das Projektionszentrum die Koordinaten X_0,Y_0,Z_0. Dieses System kann transformiert werden im System der Kamera mittels einer Rotation und einer Translation. Die Translation beeinflusst die Differenzen der Koordinate nicht, und die Rotation, öfters angedeutet als Kameratransformation, wird bestimmt durch eine 3×3-Matrix R, und führt (X-X_0,Y-Y_0,Z-Z_0) über in:

x_P-x_0=R_{11} (X-X_0)+ R_{21}(Y-Y_0) + R_{31} (Z-Z_0)
y_P-y_0=R_{12} (X-X_0)+ R_{22}(Y-Y_0) + R_{32} (Z-Z_0)

und

z_P-z_0=R_{13}(X-X_0) + R_{23} (Y-Y_0) + R_{33} (Z-Z_0)

Substitution dieser Expressionen führt zu zwei Gleichungen, die 'Kollinearitätsgleichungen" genannt werden:


x - x_0=  -c\ \frac{R_{11} (X-X_0)+ R_{21}(Y-Y_0) + R_{31} (Z-Z_0)}
{R_{13}(X-X_0) + R_{23} (Y-Y_0) + R_{33} (Z-Z_0)}

y - y_0=  -c\ \frac{R_{12} (X-X_0)+ R_{22}(Y-Y_0) + R_{32} (Z-Z_0)}
{R_{13}(X-X_0) + R_{23} (Y-Y_0) + R_{33} (Z-Z_0)}

Mit der Indizierung für die Kameraposition und die Aufnahme, und mit einem Korrekturterm für die Aberration der Linse, schauen die Gleichungen wie folgt aus:


x_c^{(i,j)} = s_x \cdot c \cdot \frac{r_{11}^{(i)} \cdot (x^{(j)}-x_0^{(i)}) + r_{21}^{(i)} \cdot (y^{(j)}-y_0^{(i)}) + r_{31}^{(i)} \cdot (z^{(j)}-z_0^{(i)})}
{r_{13}^{(i)} \cdot (x^{(j)}-x_0^{(i)}) + r_{23}^{(i)} \cdot (y^{(j)}-y_0^{(i)}) + r_{33}^{(i)} \cdot (z^{(j)}-z_0^{(i)})}+ h_x + \Delta x \left( x_c^{(i,j)},y_c^{(i,j)} \right)


y_c^{(i,j)} = s_y \cdot c \cdot \frac{r_{12}^{(i)} \cdot (x^{(j)}-x_0^{(i)}) + r_{22}^{(i)} \cdot (y^{(j)}-y_0^{(i)}) + r_{32}^{(i)} \cdot (z^{(j)}-z_0^{(i)}) }
{r_{13}^{(i)} \cdot (x^{(j)}-x_0^{(i)}) + r_{23}^{(i)} \cdot (y^{(j)}-y_0^{(i)}) + r_{33}^{(i)} \cdot (z^{(j)}-z_0^{(i)})}+ h_y + \Delta y \left( x_c^{(i,j)},y_c^{(i,j)} \right)

Die Symbole bedeuten dabei:

  • i – Index zur Nummerierung der verschiedenen Kameras
  • j – Index zur Nummerierung der verschiedenen Objekt- bzw. Bildpunkte
  • cKammerkonstante, entspricht in etwa der Brennweite des Objektives
  • r – 3×3 Rotationsmatrix zur Definition der Blickrichtung der Kamera
  • (s_x,s_y)^T – Vektor zur Beschreibung der Asymmetrie der Bildpunkte von Matrixsensoren
  • (x_0,y_0,z_0)^{T} – Vektor zur Definition des Projektionszentrums
  • (x,y,z)^{T} – Vektor zur Definition der 3D-Koordinaten der Objektpunkte
  • (h_x,h_y)^{T} – Vektor zur Definition der Lage des Bildhauptpunkts auf dem Film oder Sensor
  • \Delta x und \Delta y – Funktionen zur Spezifizierung der Verzeichnungskorrekturen

Siehe auch[Bearbeiten]