Komplementärbasis
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Eine Komplementärbasis eines Unterraums bezeichnet im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine Basis des zugehörigen Komplements.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es seien ein Vektorraum über einem Körper , ein Untervektorraum von und ein durch die Vektoren erzeugter Unterraum. Dann heißt die Menge Komplementärbasis von in , falls sie linear unabhängig ist und gilt, also die direkte Summe von und ist.
ist also ein komplementärer Unterraum von und die Vektoren bilden dazu eine Basis.
Alternative Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Seien Skalare aus . Dann lässt sich eine Komplementärbasis auch dadurch definieren, dass die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sein müssen:
- Lässt sich ein Element aus der Linearkombination darstellen, so muss folgen, dass und alle Koeffizienten (für ) sind.
- Erzeugen die Vektoren zusammen mit den Vektorraum .
(Wenn die erste Bedingung erfüllt ist, dann nennt man die Vektoren auch linear unabhängig modulo .)
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Sei eine Basis von . Genau dann ist eine Komplementärbasis von in , wenn eine Basis von ist.
- Es gilt dann .
- Jede Folge, die linear unabhängig modulo ist, lässt sich zu einer Komplementärbasis von in ergänzen.