Lineare Unabhängigkeit

In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden. Äquivalent dazu ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Andernfalls heißen sie linear abhängig. In diesem Fall lässt sich mindestens einer der Vektoren (aber nicht notwendigerweise jeder) als Linearkombination der andern darstellen.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$ die Vektoren $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ linear unabhängig. Die Vektoren $(2, {-1}, 1)$, $(1, 0, 1)$ und $(3, {-1}, 2)$ sind hingegen linear abhängig, denn der dritte Vektor ist die Summe der beiden ersten, d. h. die Summe der ersten beiden minus den dritten ergibt den Nullvektor. Die Vektoren $(1,2,{-3})$, $({-2},{-4},6)$ und $(1,1,1)$ sind wegen $2\cdot(1,2,{-3})+({-2},{-4},6)=(0,0,0)$ ebenfalls linear abhängig; jedoch ist hier der dritte Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen darstellbar.

Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ und $I$ eine Indexmenge. Eine durch $I$ indizierte Familie $(\mathbf v_i)_{i\in I}$ heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist.

Eine endliche Familie $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\dots, \mathbf{v}_n$ von Vektoren aus $V$ heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \dotsb + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$

mit Koeffizienten $a_1, a_2,\dots,a_n$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a_i$ gleich Null sind. Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich Null) erzeugen, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Die Familie $(\mathbf v_i)_{i\in I}$ ist also genau dann linear abhängig, wenn es Koeffizienten $(a_j)_{j\in J}$ gibt, von denen mindestens einer ungleich 0 ist, so dass

$\sum_{j\in J}a_j\mathbf v_j=\mathbf 0$

gilt, wobei $J$ eine nichtleere endliche Teilmenge von $I$ ist.

Der Nullvektor $\mathbf{0}$ ist ein Element des Vektorraumes $V$. Im Gegensatz dazu ist 0 ein Element des Körpers $K$.

Der Begriff wird auch für Teilmengen eines Vektorraums verwendet: Eine Teilmenge $S \subseteq V$ eines Vektorraums $V$ heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Linearkombination von Vektoren aus $S$ nur dann den Nullvektor darstellen kann, wenn alle Koeffizienten in dieser Linearkombination den Wert Null haben. Man beachte folgenden Unterschied: Ist etwa $(v_1, v_2)$ eine linear unabhängige Familie, so ist $(v_1, v_1, v_2)$ offenbar eine linear abhängige Familie. Die Menge $\{v_1,v_1,v_2\}=\{v_1,v_2\}$ ist dann aber linear unabhängig.

Andere Charakterisierungen und einfache Eigenschaften

• Die Vektoren $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sich keiner von ihnen als Linearkombination der anderen darstellen lässt.
  Diese Aussage gilt nicht im allgemeineren Kontext von Moduln über Ringen.

• Eine Variante dieser Aussage ist das Abhängigkeitslemma: Sind $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$ linear unabhängig und $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n,\mathbf w$ linear abhängig, so lässt sich $\mathbf w$ als Linearkombination von $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$ schreiben.

• Ist eine Familie von Vektoren linear unabhängig, so ist jede Teilfamilie dieser Familie ebenfalls linear unabhängig. Ist eine Familie hingegen linear abhängig, so ist jede Familie, die diese abhängige Familie beinhaltet, ebenso linear abhängig.

• Elementare Umformungen der Vektoren verändern die lineare Abhängigkeit oder die lineare Unabhängigkeit nicht.

• Ist der Nullvektor einer der $\mathbf{v}_i$ (hier: Sei $\mathbf{v}_j = \mathbf{0}$), so sind diese linear abhängig – der Nullvektor kann erzeugt werden, indem alle $a_i=0$ gesetzt werden mit Ausnahme von $a_j$, welches als Koeffizient des Nullvektors $\mathbf{v}_j$ beliebig (also insbesondere auch ungleich Null) sein darf.

• In einem $d$-dimensionalen Raum ist eine Familie aus mehr als $d$ Vektoren immer linear abhängig.

Ermittlung mittels Determinante

Hat man $n$ Vektoren eines $n$-dimensionalen Vektorraums als Spaltenvektoren bzgl. einer festen Basis gegeben, so kann man deren lineare Unabhängigkeit einfach dadurch prüfen, dass man die $n$ Spaltenvektoren zu einer $n\times n$-Matrix zusammenfasst und dann deren Determinante ausrechnet. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante von 0 verschieden ist.

Bedeutung

Lineare Gleichungssysteme

In einer Linearkombination sind die Koeffizienten eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dotsc, \mathbf{v}_n$ linear unabhängig sind. Dies kann zur Feststellung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen benutzt werden. Das lineare Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix linear unabhängig sind.

Die Überprüfung, ob zum Beispiel drei Vektoren (hier: $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ und $\mathbf{w}$) aus $\mathbb{R}^3$ linear unabhängig sind, entspricht dem Lösen eines linearen Gleichungssystems. Dazu wird aus

$a_1 \, \mathbf{u} + a_2 \, \mathbf{v} + a_3 \, \mathbf{w} = \mathbf{0}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem gebildet:

$a_1 \, u_x + a_2 \, v_x + a_3 \, w_x = 0$

$a_1 \, u_y + a_2 \, v_y + a_3 \, w_y = 0$

$a_1 \, u_z + a_2 \, v_z + a_3 \, w_z = 0$

und mittels des gaußschen Eliminationsverfahrens nach $a_1, a_2, a_3$ gelöst. Gibt es nur eine einzige Lösung, nämlich $a_1 = a_2 = a _3 = 0$, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Existieren weitere Lösungen, sind die Vektoren linear abhängig.

Basen

Wichtig ist das Konzept der linearen Unabhängigkeit in Bezug auf eine Basis eines Vektorraums. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Basen erlauben es, in beliebigen Vektorräumen mit Koordinaten zu rechnen.

Beispiele

Einzelner Vektor

Der Vektor $\mathbf{v}$ sei ein Element des Vektorraums $V$ über $K$. Dann ist der einzelne Vektor $\mathbf{v}$ für sich genau dann linear unabhängig, wenn gilt, dass $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ (d. h. ungleich dem Nullvektor ist).

Denn aus der Definition des Vektorraums folgt, dass wenn

$a \, \mathbf{v} = 0$ mit $a \isin K$, $\mathbf{v} \isin V$

nur $a=0$ oder $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ sein kann!

Vektoren in der Ebene

Die Vektoren $\mathbf{u}= \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ und $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$ sind in $\mathbb{R}^2$ linear unabhängig.

Beweis: Für $a,b \isin \mathbb{R}$ gelte

$a \, \mathbf{u} + b \, \mathbf{v} = \mathbf{0},$

d. h.

$a \, \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + b \, \begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

Dann gilt

$\begin{pmatrix}a-3b\\a+2b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},$

also

$a-3b=0 \ \wedge \ a+2b=0.$

Dieses Gleichungssystem ist nur für die Lösung $a=0$, $b=0$ (die sogenannte triviale Lösung) erfüllt; d. h. $u$ und $v$ sind linear unabhängig.

Standardbasis im n-dimensionalen Raum

Im Vektorraum $V= \mathbb{R}^n$ betrachte folgende Elemente (die natürliche oder Standardbasis von $V$):

$\mathbf{e}_1=(1,0,0,\dots ,0)$

$\mathbf{e}_2=(0,1,0,\dots ,0)$

$\dots$

$\mathbf{e}_n=(0,0,0,\dots,1)$

Dann ist die Vektorfamilie $(\mathbf{e}_i)_{i \isin I}$ mit $I=\{1,2,\dots,n\}$ linear unabhängig.

Beweis:    Für $a_1, a_2,\dots,a_n \isin \mathbb{R}$ gelte

$a_1 \, \mathbf{e}_1 + a_2 \, \mathbf{e}_2 + \dotsb + a_n \, \mathbf{e}_n = \mathbf{0}.$

Dann gilt aber auch

$a_1 \, \mathbf{e}_1 + a_2 \, \mathbf{e}_2 +\dots + a_n \, \mathbf{e}_n = (a_1,a_2,\ \dots,a_n) = \mathbf{0},$

und daraus folgt, dass $a_i=0$ für alle $i \isin \{1,2, \dots ,n\}$.

Funktionen als Vektoren

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$. Die beiden Funktionen $\mathrm{e}^t$ und $\mathrm{e}^{2t}$ in $V$ sind linear unabhängig.

Beweis: Es seien $a,b \in \mathbb{R}$ und es gelte

$a \, \mathrm{e}^t + b \, \mathrm{e}^{2t} = 0$

für alle $t\in\mathbb R$. Leitet man diese Gleichung nach $t$ ab, dann erhält man eine zweite Gleichung

$a \, \mathrm{e}^t + 2b \, \mathrm{e}^{2t} = 0$

Indem man die erste von der zweiten Gleichung subtrahiert, erhält man

$b \, \mathrm{e}^{2t} =0$

Da diese Gleichung für alle $t$ und damit insbesondere auch für $t=0$ gelten muss, folgt daraus durch Einsetzen von $t=0$, dass $b=0$ sein muss. Setzt man das so berechnete $b$ wieder in die erste Gleichung ein, dann ergibt sich

$a \, \mathrm{e}^t + 0 = 0$

Daraus folgt wieder, dass (für $t=0$) $a=0$ sein muss.

Da die erste Gleichung nur für $a=0$ und $b=0$ lösbar ist, sind die beiden Funktionen $\mathrm{e}^t$ und $\mathrm{e}^{2t}$ linear unabhängig.

Siehe auch: Wronski-Determinante

Reihen

Sei $V$ der Vektorraum aller reellwertigen stetigen Funktionen $f\colon (0,1)\to\mathbb R$ auf dem offenen Einheitsintervall. Dann gilt zwar

$\frac 1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n,$

aber dennoch sind $\tfrac 1{1-x}, 1, x, x^2,\ldots$ linear unabhängig. Linearkombinationen aus Potenzen von $x$ sind nämlich nur Polynome und keine allgemeinen Potenzreihen, insbesondere also in der Nähe von 1 beschränkt, so dass sich $\tfrac1{1-x}$ nicht als Linearkombination von Potenzen darstellen lässt.

Zeilen und Spalten einer Matrix

Interessant ist auch die Frage, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht. Dabei werden die Zeilen als Vektoren betrachtet. Falls die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig sind, so nennt man die Matrix regulär, andernfalls singulär. Die Spalten einer quadratischen Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Beispiel einer Folge von regulären Matrizen: Hilbert-Matrix.

Rationale Unabhängigkeit

Zahlen aus $\mathbb{R}$, die sich nicht als Linearkombinationen mit Zahlen aus $\mathbb{Q}$ darstellen lassen nennt man rational unabhängig oder inkommensurabel (siehe auch Inkommensurabilität (Mathematik)). Die Zahlen $\lbrace 1, \, \tfrac1{\sqrt{2}} \rbrace$ sind rational unabhängig, oder inkommensurabel. Die Zahlen $\lbrace 1, \, \tfrac1{\sqrt{2}} , 1 + \sqrt{2} \rbrace$ sind rational abhängig.

Verallgemeinerungen

Die Definition linear unabhängiger Vektoren lässt sich analog auf Elemente eines Moduls anwenden. In diesem Zusammenhang werden linear unabhängige Familien auch frei genannt (siehe auch: freier Modul).

Der Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich weiter zu einer Betrachtung von unabhängigen Mengen verallgemeinern, siehe dazu Matroid.