Lemma von Jordan

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Das Lemma von Jordan (nach Marie Ennemond Camille Jordan) ist ein Hilfsmittel der Funktionentheorie. Es wird zusammen mit dem Residuensatz verwendet, um Integrale aus der reellen Analysis zu berechnen.

Aussage[Bearbeiten]

Ist \alpha>0 und konvergiert in der oberen Halbebene g gleichmäßig gegen Null für alle |z|\to\infty, dann gilt

\int_{K_R} g(z)\, e^{i\alpha z} dz\to 0

für R\to\infty.

Dies gilt auch, wenn \alpha=0 ist und zusätzlich z\cdot g(z) in der oberen Halbebene gleichmäßig gegen Null strebt. Völlig analog lässt sich das Lemma für die untere Halbebene formulieren.

Anwendung[Bearbeiten]

Integrationsweg \gamma_R als halbkreisförmige Kurve K_R, die durch das reelle Intervall [-R,R] geschlossen wird

Viele uneigentliche Integrale der Form \textstyle \int_{-\infty}^\infty f(z) \, dz lassen sich, falls sie existieren, in der folgenden Weise berechnen: Man integriert f auf einer geschlossenen halbkreisförmigen Kurve \gamma_R, die entsteht, wenn zuerst auf der reellen Achse von -R nach R und von dort im Halbkreisbogen K_R zurück nach -R integriert.

Man stellt fest, dass für R\to\infty das Integral \textstyle \int_{K_R} f\, dz verschwindet und somit

\oint_{\gamma_R} f dz=\int_{[-R,R]} f\, dz+\int_{K_R} f\, dz \xrightarrow[R\to\infty]\ \int_\Bbb{R} f \, dz gilt.

Nach dem Residuensatz ist dann

\int_\Bbb{R} f \, dz=\lim_{R\to\infty}\oint_{\gamma_R} f dz=2\pi i\sum_{\mathrm{Im} z>0} \mathrm{Res}  f|_z.

Um dabei immer wiederkehrende Abschätzungen für Integrale der Form \textstyle \int_{K_R} g(z)\, e^{i\alpha z} dz zu vermeiden, benutzt man das Lemma von Jordan.

Beispiele[Bearbeiten]

1. Beispiel[Bearbeiten]

Es sei g(z)=\tfrac{1}{1+z^2} und f(z)=g(z)\, e^{i\alpha z}. Hier ist das Jordan-Lemma anwendbar und es gilt

\lim_{R\to\infty} \int_{K_R} f(z)\, dz=0.

Also gilt für das Integral über die reelle Achse

\int_{\Bbb{R}} f(z)\, dz=2\pi i\, \mathrm{Res} f|_i=\pi\, e^{-\alpha}.

Spaltet man e^{i\alpha z} mit Hilfe der Eulerschen Identität in Real- und Imaginärteil auf, so erhält man die Gleichheit

\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(\alpha x)}{1+x^2}\, dx=\pi\, e^{-\alpha}.

2. Beispiel[Bearbeiten]

Es sei g(z)=\tfrac{z}{1+z^2}. Analog zum 1. Beispiel ist \textstyle \int_{\Bbb{R}} f(z)\, dz=2\pi i\, \mathrm{Res} f|_i=i\pi\, e^{-\alpha} und somit

\int_{-\infty}^\infty \frac{x\sin(\alpha x)}{1+x^2}\, dx=\pi\, e^{-\alpha}.

Beweis des Lemmas von Jordan[Bearbeiten]

Das Integral \textstyle I_R:=\int_{K_R} g(z)\, e^{i\alpha z}\, dz lässt sich nach Substitution z=R\, e^{i\varphi} schreiben als \textstyle \int_0^\pi g\left(R e^{i\varphi}\right)\, e^{i\alpha R e^{i\varphi}} \, R\, e^{i\varphi}\, i \, d\varphi. Abschätzung des Betrages nach oben ergibt

|I_R|\le R \,\varepsilon_R \int_0^\pi e^{-\alpha R \sin \varphi}\, d\varphi

mit \textstyle \varepsilon_R:=\max_{z\in K_R} |g(z)|. Daraus folgt

|I_R|\le 2R \,\varepsilon_R \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\alpha R \sin \varphi}\, d\varphi,

da der Integrand e^{-\alpha R \sin \varphi} bezüglich \varphi=\tfrac{\pi}{2} achsensymmetrisch ist. Nach der Jordanschen Ungleichung ist \sin(\varphi)\ge \tfrac{2}{\pi}\, \varphi für alle \varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right] und daher

|I_R|\le 2R \, \varepsilon_R \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\alpha R \frac{2}{\pi} \varphi}\, d\varphi =\frac{\pi\, \varepsilon_R}{\alpha} \left(1-e^{-\alpha R}\right)\le \frac{\pi\, \varepsilon_R}{\alpha}\to 0 für R\to\infty.

Literatur[Bearbeiten]