Methode der globalen Linearisierung

Die Idee beim Regelungsentwurf durch globale Linearisierung besteht darin, eine geeignete Rückführung zu finden, die ein nichtlineares System linearisiert und damit eine Regelung vereinfacht. Zumeist wird dazu der Ausgang zurückgeführt, weshalb die Methode auch als Linearisierung durch Ausgangsrückführung bekannt ist.

Nichtlineare Regelstrecken in Zustandsraumdarstellung:

${\dot {x_{1}}}=x_{2}$

${\dot {x_{2}}}=x_{3}$

. . .

${\dot {x_{n}}}=f(x_{1},\cdots ,x_{n})+b(x_{1},\cdots ,x_{n})u$

können durch eine Rückführung

$u={\frac {1}{b(x_{1},\cdots ,x_{n})}}(v-f(x_{1},\cdots ,x_{n}))$

linearisiert werden. Wird die Zustandsrückführung

$v=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}-\cdots -k_{n}x_{n}\;$

als Regler gewählt, lautet die linearisierte Regelstrecke

${\dot {x_{1}}}=x_{2}$

${\dot {x_{2}}}=x_{3}$

. . .

${\dot {x_{n}}}=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}-\cdots -k_{n}x_{n}\;$.

Die Regelstrecke ist asymptotisch stabil, wenn alle Eigenwerte der Systemmatrix negativen Realteil haben.

Beispiel: Van-der-Pol-System

Ein Van-der-Pol-System wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben:

${\ddot {x}}+\epsilon (x^{2}-1){\dot {x}}+x=u$

Nach Umschreiben in die kanonische Steuerbarkeitsnormalform mit $x_{1}=x\;$, ${\dot {x_{1}}}={\dot {x}}=x_{2}$ und ${\dot {x_{2}}}={\ddot {x}}$ erhält man

${\dot {x_{1}}}=x_{2}$

${\dot {x_{2}}}=\epsilon (1-x_{1}^{2})x_{2}-x_{1}+u=f(x_{1},x_{2})+b(x_{1},x_{2})u$.

Damit ist

$f(x_{1},x_{2})=\epsilon (1-x_{1}^{2})x_{2}-x_{1}$ und

$b(x_{1},x_{2})=1\;$ und somit die Rückführung

$u=-\epsilon (1-x_{1}^{2})x_{2}+x_{1}+v$.

Die linearisierte Zustandsraumdarstellung lautet somit

${\dot {x}}_{1}=x_{2}$

${\dot {x}}_{2}=-k_{1}x_{1}-k_{2}x_{2}$.

Die zugehörige homogene, lineare Differentialgleichung ist

${\ddot {x}}+k_{2}{\dot {x}}+k_{1}x=0$.