Monoid-Objekt

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Monoid-Objekt ist in der Kategorientheorie eine Verallgemeinerung des Begriffs des Monoids.

Definition[Bearbeiten]

Es sei \mathcal C eine monoidale Kategorie mit dem Funktor {-}\otimes{-}\colon \mathcal C\times \mathcal C\to \mathcal C, dem Einheitsobjekt I\in|\mathcal C|, der natürlichen Transformation \alpha mit den Komponenten \alpha_{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C \to A\otimes (B\otimes C), sowie den natürlichen Transformationen \lambda\colon (I\otimes {-}) \to \mathrm{Id}_{\mathcal C} und \rho   \colon ({-}\otimes I) \to \mathrm{Id}_{\mathcal C} gegeben.

Ein Monoid-Objekt ist nun ein Objekt M\in|\mathcal C| zusammen mit zwei Pfeilen \eta\colon I\to M und \mu\colon M\otimes M \to M, für die die Gleichungen

  • \mu\circ (\mu\otimes M) = \mu \circ (M\otimes \mu) \circ \alpha_{M,M,M}\ \colon (M\otimes M)\otimes M \to M,
  • \mu \circ (M\otimes \eta) = \rho_M\    \colon M\otimes I\to M und
  • \mu \circ (\eta\otimes M) = \lambda_M\ \colon I\otimes M\to M

gelten.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Monoide sind Monoidobjekte in der Kategorie der Mengen, welche mit dem kartesischen Produkt monoidal ist.
  • Gruppenobjekte sind Monoidobjekte.
  • In der Kategorie der Monoide (monoidal durch direkte Produkte) sind Monoid-Objekte kommutative Monoide.
  • Ist \mathcal C eine beliebige Kategorie, so ist die Funktorkategorie \mathcal C^{\mathcal C} mit der Funktorkomposition monoidal. Monoid-Objekte in \mathcal C^{\mathcal C} sind Monaden.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. 2 Auflage. Springer-Verlag, 1997, S. 170f.