Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt $A \times B$ der beiden Mengen $A=\{x,y,z\}$ und $B=\{1,2,3\}$

Das kartesische Produkt, Mengenprodukt oder Kreuzprodukt ist in der Mengenlehre eine grundlegende Konstruktion, aus gegebenen Mengen eine neue Menge zu erzeugen. Das kartesische Produkt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei die erste Komponente ein Element der ersten Menge und die zweite Komponente ein Element der zweiten Menge ist. Allgemeiner besteht das kartesische Produkt mehrerer Mengen aus der Menge aller Tupel von Elementen der Mengen, wobei die Reihenfolge der Mengen und damit der entsprechenden Elemente fest vorgegeben ist. Die Ergebnismenge des kartesischen Produkts wird auch Produktmenge, Kreuzmenge oder Verbindungsmenge genannt. Das kartesische Produkt ist nach dem französischen Mathematiker René Descartes benannt, der es zur Beschreibung des kartesischen Koordinatensystems verwendete und damit die analytische Geometrie begründete.

Produkt zweier Mengen

Definition

Das kartesische Produkt $A \times B$ (lies „A kreuz B“) zweier Mengen $A$ und $B$ ist definiert als die Menge aller geordneten Paare $(a,b)$, wobei $a$ ein Element aus $A$ und $b$ ein Element aus $B$ ist. Dabei wird jedes Element aus $A$ mit jedem Element aus $B$ kombiniert. Formal ist das kartesische Produkt durch

$A \times B := \left\{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \right\}$

definiert. Insbesondere ist es auch möglich, das kartesische Produkt einer Menge mit sich selbst zu bilden und man schreibt dann

$A^2 = A \times A = \left\{ (a, a') \mid a, a' \in A \right\}$.

Gelegentlich wird für das kartesische Produkt auch der Begriff „Kreuzprodukt“ verwendet, der jedoch weitere Bedeutungen hat, siehe Kreuzprodukt.

Beispiele

Das kartesische Produkt zweier Mengen besteht aus allen möglichen geordneten Paaren von Elementen der Mengen.

Sind $A=\{ a, b, c \}$ und $B=\{ x, y \}$, dann ist das kartesische Produkt $A \times B$ gegeben durch

$A \times B = \left\{ (a,x), (a,y), (b,x), (b,y), (c,x), (c,y) \right\}$.

Das kartesische Produkt $B \times A$ ist hingegen eine andere Menge, und zwar

$B \times A = \left\{ (x,a), (x,b), (x,c), (y,a), (y,b), (y,c) \right\}$,

da bei geordneten Paaren die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielt. Das kartesische Produkt von $A$ mit sich selbst ist

$A \times A = \left\{ (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c), (c,a), (c,b), (c,c) \right\}$.

Die reelle Zahlenebene entsteht aus dem kartesischen Produkt der reellen Zahlen $\R$ mit sich selbst:

$\R \times \R = \R^2 = \{ (x,y) \mid x, y \in \R \}$.

Die Tupel $(x,y)$ nennt man auch kartesische Koordinaten. Das kartesische Produkt zweier reeller Intervalle $[a,b]$ und $[c,d]$ ergibt das Rechteck

$[a, b] \times [c, d] = \{ (x,y) \in \R^2 \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \}$.

Eigenschaften

Zahl der Elemente

a b c d e f g h 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 a b c d e f g h

Ein Schachbrett besitzt $\scriptstyle 8^2 = 64$ Felder, die durch ein Paar aus Buchstaben der Linie und Zahl der Reihe identifiziert werden.

Sind die Mengen $A$ und $B$ endlich, dann ist ihr kartesisches Produkt $A \times B$ eine endliche Menge geordneter Paare. Die Anzahl der Paare entspricht dabei dem Produkt der Anzahlen der Elemente der Ausgangsmengen, das heißt

$|A \times B| = |A| \cdot |B|$

In dem Spezialfall, dass $A = B$ ist, gilt

$|A^2| = |A|^2$.

Enthält zumindest eine der beiden Mengen $A$ und $B$ unendlich viele Elemente, dann besteht ihr kartesisches Produkt $A \times B$ aus unendlich vielen Paaren. Das kartesische Produkt zweier abzählbar unendlicher Mengen ist dabei nach Cantors erstem Diagonalargument ebenfalls abzählbar. Ist zumindest eine der beiden Mengen überabzählbar, so ist auch ihre Produktmenge überabzählbar.

Leere Menge

Da aus der leeren Menge kein Element ausgewählt werden kann, ergibt das kartesische Produkt der leeren Menge mit einer beliebigen Menge wieder die leere Menge. Allgemeiner gilt

$A \times B = \emptyset ~\Longleftrightarrow~ A = \emptyset ~\text{oder}~ B = \emptyset$,

das heißt das kartesische Produkt zweier Mengen ist genau dann leer, wenn zumindest eine der beiden Mengen leer ist.

Kommutativität

Das kartesische Produkt ist nicht kommutativ, das heißt für nichtleere Mengen $A$ und $B$ mit $A \neq B$ ist

$A \times B \neq B \times A$,

denn in den Paaren der Menge $A \times B$ ist das erste Element aus $A$ und das zweite aus $B$, während in den Paaren der Menge $B \times A$ das erste Element aus $B$ und das zweite aus $A$ ist. Es gibt allerdings eine kanonische Bijektion zwischen den beiden Mengen, nämlich

$A \times B \to B \times A, \quad (a, b) \mapsto (b ,a)$,

mit der die Mengen miteinander identifiziert werden können.

Assoziativität

Das kartesische Produkt ist auch nicht assoziativ, das heißt für nichtleere Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt

$A \times \left( B \times C \right) \neq \left( A \times B \right) \times C$,

denn die Menge auf der linken Seite enthält Paare, deren erstes Element aus $A$ und deren zweites Element ein Paar aus $B \times C$ ist, wohingegen die Menge auf der rechten Seite Paare enthält, deren erstes Element ein Paar aus $A \times B$ und deren zweites Element aus $C$ ist. Auch hier gibt es eine kanonische Bijektion zwischen diesen beiden Mengen, nämlich

$A \times \left( B \times C \right) \to \left( A \times B \right) \times C, \quad (a, (b,c)) \mapsto ((a,b),c)$.

Distributivität

Illustration des ersten Distributivgesetzes

Für das kartesische Produkt gelten die folgenden Distributivgesetze bezüglich Vereinigung, Schnitt und Differenzbildung von Mengen:

$\begin{align} \left(A \cup B\right) \times C & = \left(A \times C\right) \cup \left(B \times C\right) \\ \left(A \cap B\right) \times C & = \left(A \times C\right) \cap \left(B \times C\right) \\ \left(A \setminus B\right) \times C & = \left(A \times C\right) \setminus \left(B \times C\right) \\ A \times \left(B \cup C\right) & = \left(A \times B\right) \cup \left(A \times C\right) \\ A \times \left(B \cap C\right) & = \left(A \times B\right) \cap \left(A \times C\right) \\ A \times \left(B \setminus C\right) & = \left(A \times B\right) \setminus \left(A \times C\right) \end{align}$

Monotonie und Komplement

Das kartesische Produkt verhält sich monoton bezüglich Teilmengenbildung, das heißt sind die Mengen $A_1, A_2, B_1$ und $B_2$ nichtleer, dann gilt

$(A_1 \times A_2) \subseteq (B_1 \times B_2) ~\Longleftrightarrow~ A_1 \subseteq B_1 ~\text{und}~ A_2 \subseteq B_2$.

Insbesondere gilt dabei Gleichheit

$(A_1 \times A_2) = (B_1 \times B_2) ~\Longleftrightarrow~ A_1 = B_1 ~\text{und}~ A_2 = B_2$.

Betrachtet man die Menge $B_1$ als Grundmenge von $A_1$ und die Menge $B_2$ als Grundmenge von $A_2$, dann hat das Komplement von $A_1 \times A_2$ in $B_1 \times B_2$ die Darstellung

$(A_1 \times A_2)^{\mathsf C} = (A_1^{\mathsf C} \times A_2^{\mathsf C}) \cup (A_1^{\mathsf C} \times A_2) \cup (A_1 \times A_2^{\mathsf C})$.

Weitere Rechenregeln

Es gilt zwar

$\left(A_1 \cap A_2\right) \times \left(B_1 \cap B_2\right) = \left(A_1 \times B_1\right) \cap \left(A_2 \times B_2\right)$,

aber im Allgemeinen ist

$\left(A_1 \cup A_2\right) \times \left(B_1 \cup B_2\right) \supseteq \left(A_1 \times B_1\right) \cup \left(A_2 \times B_2\right)$,

da die Menge auf der linken Seite Paare aus $A_1 \times B_2$ und $A_2 \times B_1$ enthält, die in der Menge auf der rechten Seite nicht enthalten sind.

Produkt endlich vieler Mengen

Definition

Allgemeiner ist das kartesische Produkt $A_1 \times \dotsb \times A_n$ von $n$ Mengen $A_1, \dotsc, A_n$ definiert als die Menge aller $n$-Tupel $(a_1, \dotsc ,a_n)$, wobei $a_i$ für $i=1, \ldots , n$ jeweils ein Element aus der Menge $A_i$ ist. Formal ist das mehrfache kartesische Produkt durch

$A_1 \times \dotsb \times A_n := \left\{(a_1,\dotsc, a_n) \mid a_i \in A_i ~\text{für}~ i = 1,\dotsc, n \right\}$

definiert. Mit Hilfe des Produktzeichens wird das mehrfache kartesische Produkt auch durch

$\prod_{i=1}^n A_i = A_1 \times \dotsb \times A_n$

notiert. Das $n$-fache kartesische Produkt einer Menge $A$ mit sich selbst schreibt man auch als

$A^n = \underbrace{A \times \dotsc \times A}_{n\text{-mal}} = \left\{(a_1,\dotsc, a_n) \mid a_i \in A ~\text{für}~ i = 1,\dotsc, n \right\}$.

Beispiele

Ist $A=\left\{0,1\right\}$, dann ist

$A \times A \times A = A^3 = \{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)\}$.

In einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem wird jeder Punkt als Tripel $\scriptstyle (x,y,z)$ von Koordinaten dargestellt.

Der euklidische Raum $\mathbb R^3$ besteht aus dem dreifachen kartesischen Produkt der reellen Zahlen $\mathbb R$:

$\R \times \R \times \R = \R^3 = \{ (x,y,z) \mid x,y,z \in \R \}$.

Die 3-Tupel $(x,y,z)$ sind die dreidimensionalen kartesischen Koordinaten. Das kartesische Produkt dreier reeller Intervalle $[a, b]$, $[c, d]$ und $[e, f]$ ergibt den Quader

$[a, b] \times [c, d] \times [e, f] = \{ (x, y, z) \in \R^3 \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d, e \leq z \leq f \}$.

Allgemein ergibt das $n$-fache kartesische Produkt der reellen Zahlen den Raum $\R^n$ und das kartesische Produkt von $n$ reellen Intervallen ein Hyperrechteck.

Eigenschaften

Zahl der Elemente

Sind die Mengen $A_1,\dotsc,A_n$ alle endlich, dann ist ihr kartesisches Produkt ebenfalls eine endliche Menge, wobei die Anzahl Elemente von $A_1 \times \dotsb \times A_n$ gleich dem Produkt der Elementzahlen der Ausgangsmengen ist, das heißt

$|A_1 \times \dotsb \times A_n| = |A_1|\dotsm|A_n|$

bzw. in anderer Schreibweise

$\left|\prod_{i=1}^n A_i\right| = \prod_{i=1}^n |A_i|$.

In dem Spezialfall, dass alle Mengen $A_i$ gleich einer Menge $A$ sind, gilt

$|A^n| = |A|^n$.

Das kartesische Produkt endlich vieler abzählbar unendlicher Mengen ist ebenfalls abzählbar, wie sich durch Iteration des Arguments für das kartesische Produkt zweier Mengen mit Hilfe der Cantorschen Tupelfunktion zeigen lässt.

Leeres Produkt

→ Hauptartikel: Leeres Produkt

Das kartesische Produkt von null Mengen ist die Menge, die als einziges Element das leere Tupel enthält, das heißt

$\prod_{i=1}^0 A_i = \left\{()\right\}$.

Monotonie

Sind die Mengen $A_1, \ldots , A_n$ und $B_1, \ldots , B_n$ nichtleer, dann gilt wie beim kartesischen Produkt zweier Mengen Monotonie

$\prod_{i=1}^n A_i \subseteq \prod_{i=1}^n B_i ~\Longleftrightarrow~ A_i \subseteq B_i ~\text{für}~ i=1, \ldots , n$

und Gleichheit

$\prod_{i=1}^n A_i = \prod_{i=1}^n B_i ~\Longleftrightarrow~ A_i = B_i ~\text{für}~ i=1, \ldots , n$.

Produkt unendlich vieler Mengen

Definition

Es ist auch möglich, das kartesische Produkt unendlich vieler Mengen zu definieren. Ist dazu $I$ eine Indexmenge und $( A_i )_{i \in I}$ eine Familie von Mengen, dann definiert man das kartesische Produkt der Mengen $A_i$ durch

$\prod_{i \in I} A_i = \Big\{ f \colon I \to \bigcup_{i \in I} A_i \mid f(i) \in A_i ~\text{für}~ i \in I \Big\}$.

Dies ist die Menge aller Abbildungen $f$ von $I$ in die Vereinigung der Mengen $A_i$, für die das Bild $f(i)$ in $A_i$ liegt. Sind alle $A_i$ gleich einer Menge $A$, dann ist das kartesische Produkt

$\prod_{i \in I} A = A^I$

die Menge aller Funktionen von $I$ nach $A$. Sind die Mengen $A_i$ unterschiedlich, so ist das kartesische Produkt allerdings weit weniger anschaulich. Bereits die Frage, ob ein beliebiges kartesisches Produkt nichtleerer Mengen nichtleer ist, ist mit der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF nicht entscheidbar; die Behauptung, dass es nichtleer ist, ist eine Formulierung des Auswahlaxioms, welches zu ZF hinzugefügt wird, um die Mengenlehre ZFC („Zermelo-Fraenkel + Choice“) zu erhalten.

Spezialfälle

Ein wichtiger Spezialfall eines unendlichen kartesischen Produkts entsteht durch die Wahl der natürlichen Zahlen $\N$ als Indexmenge. Das kartesische Produkt einer Folge von Mengen $( A_i )_{i \in \N} = ( A_1, A_2, \ldots )$

$\prod_{i = 1}^\infty A_i = \left\{(a_1,a_2, \dotsc) \mid a_i \in A_i ~\text{für}~ i \in \N \right\}$

entspricht dann der Menge aller Folgen, deren $i$-tes Folgenglied in der Menge $A_i$ liegt. Sind beispielsweise alle $A_i = \mathbb{R}$, dann ist

$\prod_{i = 1}^\infty \mathbb R = \mathbb R \times \mathbb R \times \dotsb = \mathbb{R}^{\mathbb N}= \left\{(a_1,a_2, \dotsc) \mid a_i \in \R ~\text{für}~ i \in \N \right\}$

die Menge aller reeller Zahlenfolgen. Das abzählbare kartesische Produkt lässt sich bijektiv auf das allgemein definierte kartesische Produkt abbilden, denn jede Folge $(a_1, a_2, \dotsc)$ definiert eine Funktion $f$ mit $f(1):=a_1, f(2):=a_2, \dotsc$ und umgekehrt lässt sich jede solche Funktion als Folge $(f(1), f(2), \dotsc)$ schreiben. Auch das kartesische Produkt endlich vieler Mengen lässt sich unter Verwendung endlicher Folgen als Spezialfall der allgemeinen Definition auffassen.

Abgeleitete Begriffe

• Eine binäre Relation zwischen zwei Mengen ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts der beiden Mengen. Insbesondere ist damit jede Abbildung eine Teilmenge des kartesischen Produkts aus Definitions- und Zielmenge der Abbildung. Allgemeiner ist eine $n$-stellige Relation eine Teilmenge des kartesischen Produkts von $n$ Mengen.

• Eine zweistellige Verknüpfung ist eine Abbildung von dem kartesischen Produkt zweier Mengen in eine weitere Menge. Allgemeiner ist eine $n$-stellige Verknüpfung eine Abbildung von dem kartesischen Produkt von $n$ Mengen in eine weitere Menge. Jede $n$-stellige Verknüpfung kann somit auch als $(n+1)$-stellige Relation aufgefasst werden.

• Ein direktes Produkt ist ein kartesisches Produkt algebraischer Strukturen, wie zum Beispiel Gruppen, das zusätzlich mit einer komponentenweisen Verknüpfung versehen ist. Eine direkte Summe ist eine Teilmenge des direkten Produkts, die sich nur für Produkte unendlich vieler Mengen vom direkten Produkt unterscheidet; sie besteht aus allen Tupeln, die nur an endlich vielen Stellen von einem bestimmten Element (meist dem neutralen Element einer Verknüpfung) verschieden sind.

• Das kategorielle Produkt entspricht in der Kategorie der Mengen dem kartesischen Produkt und in der Kategorie der Gruppen sowie in anderen Kategorien algebraischer Strukturen dem direkten Produkt.

• In relationalen Datenbanken werden das kartesische Produkt von Tabellen und die darauf aufbauenden Join-Operationen zur Verknüpfung von Datenbanktabellen eingesetzt.

Siehe auch

• Produkt (Mathematik)

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo. 2. verbesserte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20401-6.

Weblinks

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Kartesisches Produkt – Lern- und Lehrmaterialien

•  M. Sh. Tsalenko: Direct product. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).
• Eric W. Weisstein: Cartesian product. In: MathWorld. (englisch)
• David Jao: Cartesian product. In: PlanetMath. (englisch)
• Thomas Foregger, David Jao, Andrew Archibald: Generalized cartesian product. In: PlanetMath. (englisch)