Netz (Topologie)

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Ein Netz oder eine Moore-Smith-Folge stellt in der Topologie (einem Teilgebiet der Mathematik) eine Verallgemeinerung einer Folge dar. Der Begriff geht auf Eliakim Hastings Moore und H. L. Smith zurück. Mit Cauchynetzen lässt sich der Begriff der Vollständigkeit von metrischen Räumen auf uniforme Räume verallgemeinern. Darüber hinaus kann man sie in der Integralrechnung zur Beschreibung der Riemann-Integrierbarkeit verwenden.

Motivation[Bearbeiten]

Es soll vorab kurz erläutert werden, warum eine Verallgemeinerung von Folgen nötig ist. In einem metrischen Raum (X,d) lässt sich die Topologie vollständig mittels Folgenkonvergenz charakterisieren: Eine Teilmenge A\subseteq X ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede Folge (x_n) in A mit \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x gilt:  x \in A  . Auch Eigenschaften wie Stetigkeit von Funktionen und Kompaktheit lassen sich über Folgen definieren (z.B sind in metrischen Räumen Überdeckungskompaktheit und Folgenkompaktheit äquivalent).

In topologischen Räumen ist eine Teilmenge  A hingegen nicht mehr notwendigerweise abgeschlossen, wenn jede Folge einen Grenzwert in  A besitzt (z.B.  [0, \omega_1] mit der Ordnungstopologie).

Hier stellen Netze eine sinnvollere Verallgemeinerung dar: Eine Teilmenge A\subseteq X eines topologischen Raumes  (X,\mathfrak{T}_X) ist genau dann abgeschlossen, wenn jedes Netz in  A , das in  X konvergiert, einen Grenzwert in  A besitzt. Auch Stetigkeit kann wie in metrischen Räumen definiert werden, wenn man "Folge" durch "Netz" ersetzt (siehe weiter unten; man beachte, dass es für Stetigkeit in topologischen Räumen keine äquivalente Definition mittels Folgen gibt).

Auch ist eine Menge kompakt genau dann, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz besitzt.

Definitionen[Bearbeiten]

Für eine gerichtete Menge (I,\triangleleft_I) und eine Menge X ist ein Netz eine Abbildung x\colon I \to X. Meist schreibt man analog zu Folgen (x_i)_{i\in I}. Da die natürlichen Zahlen mit der gewöhnlichen Anordnung eine gerichtete Menge bilden, sind Folgen spezielle Netze.

Teilnetz[Bearbeiten]

(I,\triangleleft_I) und (J,\triangleleft_J) seien gerichtete Mengen, (x_i)_{i\in I} ein Netz in X und \varphi\colon J \to I eine Abbildung, die der folgenden Bedingung genügt:

\forall i_0\in I \ \exists j_0 \in J \ \forall j \triangleright_J j_0  \colon \ \varphi(j) \triangleright_I i_0

(Eine solche Abbildung \varphi heißt konfinal). Dann nennt man das Netz (x_{\varphi(j)})_{j\in J} ein Teilnetz des Netzes (x_i)_{i\in I}.

Konvergentes Netz[Bearbeiten]

Ist X ein topologischer Raum, so definiert man wie bei Folgen: Ein Netz heißt konvergent gegen x \in X, wenn gilt:

\forall U\in \mathcal{U}(x)\ \exists i_0 \in I\ \forall i \in I: i_0 \triangleleft i \Rightarrow x_i \in U,

wobei \mathcal{U}(x) den Umgebungsfilter von x bezeichne. Man schreibt dann (x_i)_{i\in I} \to x oder x_i \to x. Die formale Definition lässt sich so umschreiben: Für jede Umgebung von x gibt es einen Anfangsindex i_0 in der gerichteten Menge I, so dass Glieder des Netzes mit Index i nach i_0\; (i\triangleright i_0) in der vorgelegten Umgebung enthalten sind.

Der Konvergenzbegriff lässt sich auf die Konvergenz eines Filters zurückführen: Hierzu definiert man den Abschnittsfilter als den von der Filterbasis

\left\{\left\{x_j \mid j\triangleright i\right\} \mid i\in I\right\}

erzeugten Filter. Das Netz konvergiert genau dann gegen einen Punkt x\in X, wenn der zugehörige Abschnittsfilter gegen x konvergiert, d. h. den Umgebungsfilter von x enthält.

Häufungspunkt[Bearbeiten]

Ein Punkt x\in X heißt genau dann Häufungspunkt eines Netzes, wenn gilt:

\forall U\in \mathcal{U}(x)\ \forall i \in I\ \exists j\triangleright i\ x_j \in U,

d. h. jede Umgebung von x wird an beliebig großen Positionen im Filter erreicht. Wiederum ist eine Charakterisierung über den Abschnittsfilter möglich: x ist genau dann Häufungspunkt eines Netzes, wenn es Berührpunkt des Abschnittsfilters ist, d. h. wenn der Schnitt jeder Umgebung mit jedem Element des Filters nicht leer ist.

Eine weitere Charakterisierung ist über Teilnetze möglich: x ist genau dann Häufungspunkt eines Netzen, wenn ein Teilnetz existiert, das gegen x konvergiert.

Cauchynetz[Bearbeiten]

Ist (X, \Phi) ein uniformer Raum, so definiert man: Ein Netz auf X heißt Cauchynetz, wenn zu jeder Nachbarschaft N\in \Phi ein Index i_0 \in I existiert, so dass alle Paare von Gliedern des Netzes mit späteren Indizes j,k\triangleright i_0 von der Ordnung N benachbart sind, d. h. dass (x_j,x_k)\in N gilt. Die formalisierte Definition lautet

 \forall N\in\Phi\; \exist i_0\in I\; \forall j,k\triangleright i_0\colon\; (x_j, x_k) \in N

Vollständigkeit[Bearbeiten]

Ein uniformer Raum X ist genau dann vollständig, wenn jedes Cauchynetz auf X konvergent ist.

Anwendungen[Bearbeiten]

Definition der abgeschlossenen Hülle

Ist A eine Teilmenge des topologischen Raumes X, dann ist y\in X genau dann ein Berührpunkt von A (d. h. in der abgeschlossenen Hülle von A enthalten), wenn es ein Netz (x_i)_{i\in I} mit Gliedern x_i \in A gibt, das gegen y konvergiert.

Lokale Definition der Stetigkeit
  • Seien X und Y topologische Räume. Eine Abbildung f\colon X \to Y ist stetig im Punkt x\in X genau dann, wenn für jedes Netz (x_i)_{i\in I} in X gilt: Aus x_i\to x folgt f(x_i)\to f(x).
Riemann-Integral

Die Menge \mathcal Z der Zerlegungen Z:=(x_0,x_1,x_2,\dotsc, x_n) des reellen Intervalls [a,b], a=x_0<x_1<\dotsb<x_n=b, wird durch die Inklusion zu einer gerichteten Menge: Z_1\triangleleft Z_2 : Z_2 enthält alle Punkte von Z_1. Für eine reellwertige beschränkte Funktion auf [a,b] werden durch die Obersumme

 \mathbf{O}(f) \colon \mathcal{Z} \to \Bbb{R}; (x_0,x_1,x_2,\dotsc, x_n) \mapsto \sum_{j=1}^n (x_j-x_{j-1})\cdot\sup_{x\in [x_{j-1},x_j]} f(x)

und die Untersumme

 \mathbf{U}(f) \colon \mathcal{Z} \to \Bbb{R}; (x_0,x_1,x_2,\dotsc, x_n) \mapsto \sum_{j=1}^n (x_j-x_{j-1})\cdot\inf_{x\in [x_{j-1},x_j]} f(x)

zwei Netze definiert. Die Funktion f ist genau dann Riemann-integrierbar auf [a,b], wenn beide Netze gegen die gleiche reelle Zahl c konvergieren. In dem Fall ist c=\int_a^b f(x)\, \mathrm{d}x.

Statt der Ober- und Untersummen lassen sich auch Riemann-Summen verwenden, um die Riemann-Integrierbarkeit zu charakterisieren. Hierfür wird eine kompliziertere gerichtete Menge \mathcal I := \left\{ \left((x_0,x_1,\dotsc,x_n),(t_1,\dotsc,t_n)\right) : t_j\in [x_{j-1},x_j]\right\} benötigt. Ein Element dieser Menge besteht also immer aus einer Zerlegung wie oben und einem zu der Zerlegung gehörenden Zwischenvektor (t_1,\dotsc,t_n) von Zwischenstellen. Die Ordnung auf \mathcal I wird nun so definiert, dass ein Element (Z,t) echt kleiner als (Z',t') ist, wenn Z eine echte Teilmenge von Z'ist.

Eine Funktion f ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn das Netz

\mathcal I \to \R\colon \left((x_0,\dotsc,x_n),(t_1,\dotsc,t_n)\right) \mapsto \sum_{j=1}^n (x_j-x_{j-1}) f(t_j)

konvergiert. Der Grenzwert ist dann das Riemann-Integral.

Dieser Zugang ist zwar komplizierter als der mit Ober- und Untersummen, dafür funktioniert er auch bei vektorwertigen Funktionen.

Literatur[Bearbeiten]