Orthant

Ein Orthant um einen Punkt $p$ bezeichnet in der Geometrie eine Teilmenge des $d$-dimensionalen Raumes $\mathbb {R} ^{d}$, die auf jeweils genau einer Seite der durch $p$ verlaufenden achsenparallelen Hyperebenen liegt. Ein Orthant ist, genauer gesagt, der Schnitt von $d$ zu jeweils einer Achse parallelen und durch $p$ verlaufenden Halbräumen des $\mathbb {R} ^{d}$. Formaler:

$\Omega$ ist genau dann ein Orthant um $(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{d})\in \mathbb {R} ^{d}$, falls es $d$ Zahlen $e_{i}\in \{-1,+1\}$ ($i=1,\ldots ,d$) mit $\Omega =\left\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})\in \mathbb {R} ^{d}\mid \forall i=1,\ldots ,d\colon \quad e_{i}p_{i}\leq e_{i}x_{i}\right\}$ gibt.

Daraus folgt, dass es um einem Punkt des $\mathbb {R} ^{d}$ genau $2^{d}$ Orthanten gibt.

Beispiele

• Im $\mathbb {R} ^{2}$ entsprechen die vier Quadranten des kartesischen Koordinatensystems den Orthanten um den Ursprung $(0,0)$.

• Im $\mathbb {R} ^{3}$ nennt man die acht Orthanten um den Ursprung $(0,0,0)$ entsprechend Oktanten, siehe Oktant (Geometrie).