Parameterintegral

Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter abhängt. Ein wichtiges Beispiel ist die eulersche Darstellung der Gammafunktion. Der Wert eines solchen Integrals ist dann eine Funktion des Parameters und es stellt sich beispielsweise die Frage, ob diese Funktion stetig oder differenzierbar ist.

Definition des Parameterintegrals

Es seien $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $\varnothing \neq X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, $(E,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum und $f\colon X\times \Omega \to E$. Für alle $x\in X$ sei $\omega \mapsto f(x,\omega )$ über $\Omega$ integrierbar bezüglich des Maßes $\mu$. Dann heißt $F\colon X\to E$

$F(x)=\int _{\Omega }f(x,\omega )\,\mu (\mathrm {d} \omega )$

Parameterintegral mit dem Parameter $x$.

Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Stetigkeit von Parameterintegralen

Sei $X$ ein metrischer Raum, $(E,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum, $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Für eine Abbildung $f\colon U\times \Omega \to E$ gelte

• $f(x,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)$ für jedes $x\in X$,
• $f(\cdot ,\omega )\in C(U,E)$ (also stetig) für $\mu -{\text{f.a. }}\omega \in \Omega$,
• Es gibt ein $g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)$ mit $\Vert f(x,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )$ für $(x,\omega )\in U\times \Omega$.

Dann ist

$F\colon X\to E:x\mapsto \int _{\Omega }f(x,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )$

wohldefiniert und stetig.

Differenzierbarkeit von Parameterintegralen

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{d}$ offen, $(E,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum, $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum. Für eine Abbildung $f:U\times \Omega \to E$ gelte

• $f(u,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)$ für jedes $u\in U$,
• $f(\cdot ,\omega )\in C^{1}(U,E)$ (also stetig differenzierbar) für $\mu -{\text{f.a. }}\omega \in \Omega$,
• Es gibt ein $g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,\mathbb {R} )$ mit $\Vert \partial _{u}f(u,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )$ für $(u,\omega )\in U\times \Omega$.

Dann ist

$F:U\to E:u\mapsto \int _{\Omega }f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )$

stetig differenzierbar mit

$\partial _{j}F(u)=\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial u^{j}}}f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega ),\quad u\in U,\quad 1\leqslant j\leqslant d.$

Merke: $\partial _{u}\int \cdots =\int \partial _{u}\cdots$

Leibnizregel für Parameterintegrale

Für die Praxis ist auch relevant, wie man Parameterintegrale mit abhängigen Funktion von $\omega$ in den Grenzen ableitet. Nach der Leibnizregel geschieht das nach folgendem Verfahren:

Für stetig differenzierbare Funktionen $\chi$, $\varphi$ und $f$ gilt

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\int \limits _{\chi (\omega )}^{\varphi (\omega )}f(x,\omega )\mathrm {d} x=\int \limits _{\chi (\omega )}^{\varphi (\omega )}f_{\omega }(x,\omega )\mathrm {d} x+f(\varphi (\omega ),\omega )\varphi '(\omega )-f(\chi (\omega ),\omega )\chi '(\omega )$

oder in Differentialschreibweise nach Leibniz

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\int \limits _{\chi (\omega )}^{\varphi (\omega )}f(x,\omega )\mathrm {d} x=\int \limits _{\chi (\omega )}^{\varphi (\omega )}{\frac {\partial }{\partial \omega }}f(x,\omega )\mathrm {d} x+f(\varphi (\omega ),\omega ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\varphi (\omega )-f(\chi (\omega ),\omega ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\chi (\omega ).$

Herleitung

Man kann diese Regel ganz einfach herleiten, indem man sozusagen wie bei Produkt- als auch bei der Kettenregel vorgeht. In diesem Integral sind drei Funktionen, die von $\omega \,$ abhängen und nach diesen wird einzeln abgeleitet, während die anderen solange festgehalten werden:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\int \limits _{\chi (\omega )}^{\varphi (\omega )}f(x,\omega )\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\int \limits _{\chi }^{\varphi }f(x,\omega )\mathrm {d} x+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\int \limits _{\chi }^{\varphi (\omega )}f(x)\mathrm {d} x+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\int \limits _{\chi (\omega )}^{\varphi }f(x)\mathrm {d} x$

Wie man den ersten Term der rechten Seite ableitet, steht in der Merkregel bei Differenzierbarkeit von Parameterintegralen.

An das ${\varphi (\omega )}\,$ kommt man heran, indem man die Kettenregel anwendet. So wird aus dem zweiten Term der rechten Seite:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}\int \limits _{\chi }^{\varphi (\omega )}f(x)\mathrm {d} x={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\varphi }}}{\Big (}{\int \limits _{\chi }^{\varphi }f(x)\mathrm {d} x}{\Big )}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\varphi }}{\mathrm {d} \omega }}$

So wird auch nach dem variablen ${\chi (\omega )}\,$ differenziert.

Als Ergebnis erhalten wir einmal die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze multipliziert mit $\varphi '(\omega )$ und zweitens eine nach der unteren Grenze multipliziert mit $\chi '(\omega )$. Diese Integrale kann man tatsächlich ausrechnen, wie man aus dem Fundamentalsatz der Analysis weiß.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\varphi }}}{\int \limits _{\chi }^{\varphi }f(x)\mathrm {d} x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\varphi }}}{\big (}F(\varphi )-F(\chi ){\big )}=f(\varphi )$

und

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\chi }}}{\int \limits _{\chi }^{\varphi }f(x)\mathrm {d} x}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} {\chi }}}{\big (}F(\varphi )-F(\chi ){\big )}=-f(\chi )$

Alles zusammen führt dann zur Leibnizregel für Parameterintegrale, wie sie oben steht.

Literatur

• Harro Heuser: Analysis 2. 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-51932-232-3, S. 101ff.
• René L. Schilling: Measures, Integrals and Martingales 3. Auflage, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-61525-9, S. 92ff.