Gammafunktion

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Graph der Gammafunktion im Reellen
Komplexe Gammafunktion: Helligkeit entspricht dem Betrag, Farbe dem Argument des Funktionswerts
Betrag der komplexen Gammafunktion

Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein \Gamma, den griechischen Großbuchstaben Gamma bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft

\Gamma(n+1) = n!

für jede natürliche Zahl n, wobei mit ! die Fakultät bezeichnet wird. Die Motivation zur Definition der Gammafunktion war es, die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Argumente zu erweitern. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler löste im Jahr 1729 diese Fragestellung und definierte die Gammafunktion mittels eines unendlichen Produktes. Heute wird die Gammafunktion oft mittels einer Integraldarstellung definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht.

Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde.

Definition[Bearbeiten]

Die Gammafunktion kann für positive reelle Zahlen x über das Integral

\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} {\mathrm e}^{-t} dt

definiert werden.

Geschichte[Bearbeiten]

Als früheste Definition der Gammafunktion gilt die in einem Brief von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729 gegebene:[1][2]

\Bigl(A + \frac{x}{2}\Bigr)^{x-1} \Bigl(\frac{2}{1+x} \cdot \frac{3}{2+x} \cdot \frac{4}{3+x} \cdots \frac{A}{A-1+x}\Bigr)

für A unendlich groß ist, in heutiger Notation, x! oder \Gamma(x+1). Wenige Tage später, am 13. Oktoberjul./ 24. Oktober 1729greg., beschrieb Euler ebenfalls in einem Brief an Goldbach jene ähnliche, etwas einfachere Formel,[3]

\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n}{(1+m)(2+m) \cdots (n+m)}\,(n+1)^m

nähert sich mit wachsendem n dem wahren Wert für, in heutiger Notation, m! oder \Gamma(m+1), die Gauß 1812 für den allgemeineren Fall komplexer Zahlen wiederentdeckte[4] (die genannten Briefe wurden erst 1843 herausgegeben). Am 8. Januar 1730 beschrieb Euler in einem Brief an Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion,[5] das er am 28. November 1729 der St. Petersburger Akademie vorgestellt hatte:[6]

\int\!dx(-lx)^n,     in heutiger Notation:     \displaystyle \Gamma(n+1) = \int_0^1 (-\log x)^n dx.

Diese Definition wurde von Euler später bevorzugt verwendet,[7] sie geht durch die Substitution t = -\log x in die Form

\Gamma(n+1) = \int_0^\infty t^n \mathrm{e}^{-t} dt

über. Euler entdeckte dieses Integral bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Teilchens betrachtet wird.

Adrien-Marie Legendre führte 1809 die griechische Majuskel \Gamma (Gamma) als Funktionssymbol ein.[8][9] Gauß verwendete 1812 das Funktionssymbol \Pi (Pi) so, dass \Pi(x) = \Gamma(x+1) und somit auch \Pi(n) = n! für nichtnegative ganzzahlige n gilt. Es setzte sich jedoch nicht durch; heute wird \Pi als Symbol für ein Produkt benutzt (analog zu \Sigma für eine Summe).

Weitere Darstellungsformen[Bearbeiten]

Neben der Darstellung der Gammafunktion aus der Definition gibt es einige weitere äquivalente Darstellungen dieser speziellen Funktion. Eine direkte Definition von \Gamma(x) für alle x \in \mathbb{C} \setminus \{ 0, -1, -2, \ldots \} gibt die Produktdarstellung der Gammafunktion nach Gauß,[10][4]

\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{n!\,n^x}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}\ ,

die für positive reelle Zahlen bereits von Euler 1729 angegeben wurde.[3] Daraus abgeleitet ist die Darstellung von 1 / \Gamma als Weierstraß-Produkt:[11]

1 / \Gamma(x) = x \cdot \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right) \mathrm{e}^{-x \log(\frac{n+1}{n})} = x \cdot \mathrm{e}^{\gamma\,x} \cdot \prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right) \mathrm{e}^{-x/n}

mit der Eulerschen Konstante \gamma = \lim_{n \to \infty} \bigl((\tfrac{1}{1} + \tfrac {1}{2} + \tfrac {1}{3} + \dotsb + \tfrac{1}{n}) - \log n\bigr). Das zweite Produkt wird üblicherweise als Weierstraßsche Darstellung bezeichnet, Karl Weierstraß verwendete jedoch nur das erste.[12]

Die Integraldarstellung aus der Definition geht ebenfalls auf Euler 1729 zurück,[6] sie gilt allgemeiner für komplexe Zahlen mit positivem Realteil:

\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} \mathrm{e}^{-t}\,dt,     wenn     \text{Re }x > 0.

Durch die Zerlegung dieses Integrals folgerte E. F. Prym 1876[13] eine in ganz \mathbb{C} \setminus \{0, -1, -2, -3, \ldots \} gültige Darstellung:

 \Gamma(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!(n+x)} + \int _1^\infty t^{x-1}e^{-t} dt.

Eine andere Variante der Eulerschen Integraldarstellung[14] gibt es für x \in \mathbb{C} mit 0 < \operatorname{Re}(x) < 1:

\Gamma(x) = 
\mathrm{e}^{\pi \cdot \mathrm i \cdot x/2} \cdot \int_0^\infty t^{x-1} \mathrm{e}^{-\mathrm i \cdot t}\,dt.

Aus dieser Darstellung lassen sich zum Beispiel auf elegante Weise die Fresnelschen Integralformeln ableiten.

Ernst Eduard Kummer gab 1847 die Fourier-Entwicklung der logarithmischen Gammafunktion an:[15]

\log\Gamma(x) = \left(\tfrac{1}{2}-x\right) \bigl(\gamma + \log(2\pi)\bigr) + \frac{1}{2} \log\frac{\pi}{\sin(\pi x)} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=2}^\infty \frac{\log k}{k} \sin(2\pi k x)     für     0 < x < 1,

sie heißt auch Kummersche Reihe. Bereits 1846 fand Carl Johan Malmstén eine ähnliche Reihe:[16]

 \log\frac{\Gamma(\tfrac{1}{2}+x)}{\Gamma(\tfrac{1}{2}-x)}
= -2 x\,\bigl(\gamma + \log(2\pi)\bigr) + \frac{2}{\pi} \sum_{k=2}^\infty (-1)^{k} \frac{\log k}{k} \sin(2\pi k x)     für     -\tfrac{1}{2} < x < \tfrac{1}{2}\ .

Axiomatische Charakterisierung[Bearbeiten]

Fortsetzung der Fakultät[Bearbeiten]

Die Bedingungen G(1) = 1 und G(x+1) = x \cdot G(x), die die Fakultät für natürliche Zahlen eindeutig beschreiben, werden auch von anderen analytischen Funktionen als der Gammafunktion erfüllt. Für positive x erfüllt beispielsweise die Funktion

G(x) = \Gamma(x) \cdot \bigl(1 + c\,\sin(2\pi x)\bigr)

für 0<c<1 die charakteristischen Bedingungen der Gammafunktion. Weierstraß fügte 1854 daher die notwendige und hinreichende Bedingung

\lim_{n \to \infty} \frac{G(x+n)}{G(n)\,n^x} = 1

hinzu,[17][18] womit aber die Suche nach einer möglichst elementaren oder natürlichen charakterisierenden Eigenschaft nicht beendet war.[19] Emil Artin diskutierte 1931 die mögliche Kennzeichnung durch Funktionalgleichungen.[20]

Der Satz von Hölder[Bearbeiten]

Der Satz von Hölder (Otto Hölder 1886)[21] ist ein Negativresultat und besagt, dass die Gammafunktion keine algebraische Differentialgleichung erfüllt, deren Koeffizienten rationale Funktionen sind. Das heißt, es gibt keine Differentialgleichung der Form f(z,y(z),y'(z),\dotsc,y^{(n)}(z)) = 0 mit einer nichtnegativen ganzen Zahl n und einem Polynom f \neq 0 in y,y',\dotsc,y^{(n)}, dessen Koeffizienten rationale Funktionen von z sind, und der Lösung y = \Gamma.[22]

Der Satz von Bohr-Mollerup[Bearbeiten]

Der Satz von Bohr-Mollerup (Harald Bohr und Johannes Mollerup 1922)[23][24] erlaubt eine einfache Charakterisierung der Gammafunktion:

Eine Funktion G\colon\mathbb R_{>0}\to\mathbb R_{>0} ist in diesem Bereich genau dann gleich der Gammafunktion, wenn
  1. G(1) = 1,
  2. G(x+1) = x \cdot G(x),
  3. G ist logarithmisch konvex, das heißt, x\mapsto\log G(x) ist eine konvexe Funktion.

Diese Axiome sind bei Nicolas Bourbaki der Ausgangspunkt für die Darstellung der Theorie der Gammafunktion.[25]

Der Satz von Wielandt[Bearbeiten]

Der Satz von Wielandt über die Gammafunktion (Helmut Wielandt 1939)[26][27] charakterisiert die Gammafunktion als holomorphe Funktion und besagt:

Eine holomorphe Funktion G, definiert auf einem Gebiet D, das den Streifen S = \{ x \mid 1 \leq \text{Re }x < 2 \} enthält, ist genau dann gleich der Gammafunktion auf D, wenn
  1. G(1) = 1,
  2. G(x+1) = x \cdot G(x),
  3. |G| ist auf dem Streifen S beschränkt, das heißt, es existiert ein c > 0, sodass |G(x)|<c für alle x aus S.

Genauer gilt |\Gamma(x)| \leq \Gamma(\text{Re }x) für alle x mit \text{Re }x > 0.

Funktionalgleichungen und spezielle Werte[Bearbeiten]

Die Gammafunktion genügt der Funktionalgleichung

\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)     mit     \Gamma(1) = 1.

Mit dem Ergänzungssatz der Gammafunktion (Euler 1749)[28][29]

\Gamma(x) \cdot \Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}     für     x \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{Z}

erhält man insbesondere \Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi} = 1,77245 38509 05516 02729 … (Folge A002161 in OEIS) sowie

\Gamma(-n+\tfrac{1}{2}) = \frac{n!\,(-4)^n}{(2n)!}\,\sqrt{\pi}     und     \Gamma(n+\tfrac{1}{2}) = \frac{(2n)!}{n!\,4^n}\,\sqrt{\pi}     für     n = 0,\,1,\,2,\,\ldots

Mit allgemeiner gewähltem n wird aus der letzten Formel die Legendresche Verdopplungsformel (Legendre 1809)[30]

\Gamma\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \Gamma\left(\frac{x+1}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2^{x-1}} \cdot \Gamma(x)     für     x \in \mathbb{C} \setminus \{ 0, -1, -2, \ldots \}.

Diese ist ein Spezialfall der Gaußschen Multiplikationsformel (Gauß 1812)[31]

\Gamma\left(\frac{x}{n}\right) \cdot \Gamma\left(\frac{x+1}{n}\right) \cdots \Gamma\left(\frac{x+n-1}{n}\right)
= \frac{(2\pi)^{(n-1)/2}}{n^{\,x-1/2}}\cdot\Gamma(x)     für     n = 1,\,2,\,3,\,\ldots     und     x \in \mathbb{C} \setminus \{ 0, -1, -2, \ldots \}.

Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass jede der Zahlen \Gamma(1/6), \Gamma(1/4), \Gamma(1/3), \Gamma(2/3), \Gamma(3/4) und \Gamma(5/6) transzendent und algebraisch unabhängig von \pi ist. Hingegen ist beispielsweise von dem Funktionswert \Gamma(1/5) = 4{,}59084\text{ }37119\text{ }98803\text{ }05320\text{ }\dotso (Folge A175380 in OEIS) nicht einmal bekannt, ob er irrational ist.[32][33]

Mit der lemniskatischen Konstante \varpi gilt

\textstyle\Gamma(\tfrac{1}{4}) = \sqrt{2 \varpi\,\sqrt{2 \pi}} = 3,62560 99082 21908 31193 … (Folge A068466 in OEIS).

Die negative Steigung der Gammafunktion an der Stelle 1 ist gleich der Euler-Mascheroni-Konstante \gamma:

\Gamma'(1) = -\gamma

Die Gammafunktion hat an den Stellen x=-n \left(n=0,1,2,\dotsc\right) Pole erster Ordnung. Aus der Funktionalgleichung erhält man für die Residuen

\operatorname{Res}_{x=-n} \Gamma(x) = \frac{(-1)^n}{n!} .

Da sie zusätzlich keine Nullstellen hat, ist die Funktion 1 / \Gamma somit eine ganze Funktion.

Zusammenhang mit der Riemannschen ζ-Funktion[Bearbeiten]

Bernhard Riemann brachte 1859 die Gammafunktion mit der Riemannschen ζ-Funktion über die Formel

\Gamma(s)\,\zeta(s) = \int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{\mathrm{e}^x - 1}\,dx

und die folgende Feststellung in Beziehung:[34] Der Ausdruck \Gamma(s/2)\,\pi^{-s/2}\,\zeta(s) „bleibt ungeändert, wenn s in 1-s verwandelt wird“, also

\Gamma(s/2)\,\pi^{-s/2}\,\zeta(s) = \Gamma\bigl((1-s)/2\bigr)\,\pi^{-(1-s)/2}\,\zeta(1-s).

Näherungsweise Berechnung[Bearbeiten]

Stirlingsche Formel[Bearbeiten]

Näherungswerte der Gammafunktion für x > 0 liefert unter anderem die Stirlingsche Formel, es gilt

\Gamma(x) = \sqrt{2\pi}\,x^{x-1/2}\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{e}^{\mu(x)}     mit     0 < \mu(x) < 1 / (12x).

Rekursive Näherung[Bearbeiten]

Aus der Funktionalgleichung

\Gamma(z+1) = z \cdot \Gamma(z),

die eine Art Periodizität beinhaltet, können aus bekannten Funktionswerten in einem Streifen der Breite 1 in \text{Re }z die Werte in jedem anderen entsprechenden Streifen rekursiv berechnet werden. Mit

\log\Gamma(z) = \log\Gamma(z+1) - \log z

kann man von einem Streifen auf den benachbarten mit kleinerem Realteil gelangen, und das m-fach.[35] Da es für große |z| sehr gute Näherungen für \log \Gamma(z) gibt, kann so deren Genauigkeit in Bereiche übertragen werden, in denen direkte Anwendung der betreffenden Näherung nicht anzuraten wäre. Nach Rocktäschel[36] empfiehlt sich, wie schon von Carl Friedrich Gauß bemerkt, die aus der Stirling-Formel abgeleitete asymptotische Entwicklung in z

\operatorname{Ro}(z) = \tfrac{1}{2} \log(2\pi) + \left(z-\tfrac{1}{2}\right) \left(\log\left(z-\tfrac{1}{2}\right) - 1\right).

Diese hat zwar im Nahbereich bei z = \tfrac{1}{2} eine Irregularität, ist aber schon für |z| > 10 brauchbar. Mit dem Korrekturterm -\tfrac{1}{24}\left(z-\tfrac{1}{2}\right)^{-1} wird ihr Fehler auf die Größenordnung \mathcal{O}(z^{-3}) für wachsendes |z| verringert.

Die m-fache Anwendung dieser Näherung führt auf

\log\Gamma(z) \approx \operatorname{Ro}(z+m) - \sum_{k=0}^{m-1} \log(z+k).

Den komplexen Logarithmus berechnet man über die Polar-Darstellung von z. Für die meisten Anwendungen, etwa in der Wellen-Ausbreitung,[37] sollte m=100 ausreichen.

Unvollständige Gammafunktion[Bearbeiten]

In der Literatur wird dieser Begriff, im Hinblick auf Integrationsgrenzen und Normierung (Regularisierung), nicht einheitlich verwendet.

Häufige Notationen sind:

\gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1} \mathrm{e}^{-t}\,dt     unvollständige Gammafunktion der oberen Grenze
\Gamma(a,x) = \int_x^\infty t^{a-1} \mathrm{e}^{-t}\,dt     unvollständige Gammafunktion der unteren Grenze
\operatorname{P}(a,x) = \frac{\gamma(a,x)}{\Gamma(a)}     regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der oberen Grenze
\operatorname{Q}(a,x) = \frac{\Gamma(a,x)}{\Gamma(a)}     regularisierte (unvollständige) Gammafunktion der unteren Grenze

Spricht man von einer regularisierten Gammafunktion, so impliziert dies schon, dass sie unvollständig ist.

\Gamma(a,x,y) = \int_x^y t^{a-1} \mathrm{e}^{-t}\,dt     oder     \displaystyle \Gamma(a,x,y) = \frac{1}{\Gamma(a)}\int_x^y t^{a-1} \mathrm{e}^{-t}\,dt

steht für die verallgemeinerte unvollständige Gammafunktion.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Brief (JPG-Datei, 136 kB) von Daniel Bernoulli an Christian Goldbach vom 6. Oktober 1729, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Band 2), St.-Pétersbourg 1843, S. 324–325 (französisch).
  2. Peter Luschny: Interpolating the natural factorial n! or The birth of the real factorial function (1729 - 1826). (englisch)
  3. a b Brief (PDF-Datei, 118 kB) von Leonhard Euler an Christian Goldbach vom 13. Oktober 1729, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle. (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 3–7 (lateinisch).
  4. a b Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I. (30. Januar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 26 (lateinisch; auch in Gauß: Werke. Band 3. S. 145).
  5. Brief (PDF-Datei, 211 kB) von Leonhard Euler an Christian Goldbach vom 8. Januar 1730, abgedruckt in Paul Heinrich Fuss (Hrsg.): Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 11–18 (lateinisch).
  6. a b Leonhard Euler: De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. (28. November 1729), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 5, 1738, S. 36–57 (lateinisch).
  7. Leonhard Euler: De evolutione integralium per producta infinita. (PDF-Datei, 1,2 MB), Kapitel 9 in Teil 1 des ersten Bandes von Euler: Institutionum calculi integralis. 1768, S. 225–250 (lateinisch).
  8. Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 477 (französisch).
  9. Adrien-Marie Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes. (Band 2), Huzard-Courcier, Paris 1826, S. 365 (französisch).
  10. Brief von Carl Friedrich Gauß an Friedrich Wilhelm Bessel vom 21. November 1811, abgedruckt in Arthur Auwers (Hrsg.): Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel, Wilhelm Engelmann, Leipzig 1880, S. 151–155 (Auszug in Gauß: Werke. Band 10.1. S. 362–365).
  11. O. Schlömilch: Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art. Archiv der Mathematik und Physik 4, 1844, S. 171.
  12. Remmert: Die Gammafunktion. Kapitel 2 in Funktionentheorie 2. 2007, S. 39.
  13. E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, ISBN 3-540-31764-3, Seite 225.
  14. Siehe Remmert, Kapitel 2, Funktionentheorie 2, S. 51.
  15. E. E. Kummer: Beitrag zur Theorie der Function \scriptstyle\Gamma(x) = \int_0^\infty\!\mathrm{e}^{-v} v^{x-1} dv. Journal für die reine und angewandte Mathematik 35, 1847, S. 4.
  16. C. J. Malmstén: De integralibus quibusdam definitis, seriebusque infinitis. (1. Mai 1846), Journal für die reine und angewandte Mathematik 38, 1849, S. 25 (lateinisch).
  17. Karl Weierstraß: Über die Theorie der analytischen Facultäten. (20. Mai 1854), Journal für die reine und angewandte Mathematik 51, 1856, S. 36.
  18. Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion. 1906, S. 3.
  19. Davis: Leonhard Euler’s integral: A historical profile of the gamma function. 1959, S. 867.
  20. Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. 1931, S. 31–35.
  21. O. Hölder: Ueber die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen. (26. Juni 1886), Mathematische Annalen 28, 1887, S. 1–13.
  22. Steven B. Bank, Robert P. Kaufman: A note on Hölder’s theorem concerning the Gamma function. Mathematische Annalen 232, 1978, S. 115–120 (englisch).
  23. Harald Bohr, Johannes Mollerup: Lærebog i matematisk Analyse III. (Lehrbuch der mathematischen Analysis III), Jul. Gjellerups Forlag, København (Kopenhagen) 1922 (dänisch).
  24. Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion. 1931, S. 12–13.
  25. N. Bourbaki: Éléments de mathématique IV. Fonctions d’une variable réelle. Hermann, Paris 1951 (französisch).
  26. Konrad Knopp: Funktionentheorie II. (5. Auflage), de Gruyter, Berlin 1941, S. 47–49.
  27. Reinhold Remmert: Wielandt’s theorem about the Γ-function. The American Mathematical Monthly 103, 1996, S. 214–220 (englisch).
  28. L. Euler: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. (1749), Histoire de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 17 (1761), 1768, S. 96/97 (französisch).
  29. L. Euler: Evolutio formulae integralis \scriptstyle\int\!x^{f-1}dx(lx)^\frac{m}{n} integratione a valore x=0 ad x=1 extensa. (4. Juli 1771), Novi commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 16, 1772, S. 121 (lateinisch).
  30. Adrien-Marie Legendre: Recherches sur diverses sortes d’intégrales définies. (13. November 1809), Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l’Institut de France 10, 1809, S. 485 (französisch).
  31. Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I. (30. Januar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 30 (lateinisch; auch in Gauß: Werke. Band 3, S. 150).
  32. Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 33 (englisch).
  33. Gregory V. Chudnovsky: Contributions to the theory of transcendental numbers. American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8, S. 8 (englisch).
  34. Bernhard Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. (19. Oktober 1859), Monatsberichte der Königlichen Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1860, S. 671–680.
  35. Paul Eugen Böhmer: Differenzengleichungen und bestimmte Integrale. K. F. Koehler, Leipzig 1939, S. 108.
  36. Otto Rudolf Rocktäschel: Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument. Dissertation, Dresden 1922, S. 14.
  37. Karl Rawer: Wave Propagation in the Ionosphere. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1993, ISBN 0-7923-0775-5 (englisch).