Parameterintegral

Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral mit einem Parameter bezeichnet. Ein wichtiges Beispiel ist die Gammafunktion.

Definition des Parameterintegrals

Sei $(\Omega,\mathcal A,\mu)$ ein Maßraum. Sei $\varnothing \neq X \subseteq \mathbb R^n$, $(E,\Vert\cdot\Vert)$ ein Banachraum und $f : X \times \Omega \to E$. $f$ sei bezüglich $\omega\, \mu-$integrierbar über $\Omega$. Dann heißt $F : X \to E$

$F(x)=\int_\Omega f(x,\omega)\,\mu(\mathrm d\omega)$

Parameterintegral mit dem Parameter $x$.

Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion

$\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,\mathrm dt.$

Stetigkeit von Parameterintegralen

Sei $X$ ein metrischer Raum, $(E,\Vert\cdot\Vert)$ ein Banachraum, $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum. Für eine Abbildung $f \colon U \times \Omega \to E$ gelte

• $f(x,\cdot) \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,E)$ für jedes $x \in X$,
• $f(\cdot, \omega) \in C(U,E)$ (also stetig) für $\mu-\text{f.a. } \omega \in \Omega$,
• Es gibt ein $g \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,E)$ mit $|f(x,\omega)| \leqslant g(\omega)$ für $(x,\omega) \in U \times \Omega$.

Dann ist

$F \colon X \to E : x \mapsto \int_\Omega f(x,\omega)\mu(\mathrm d\omega)$

wohldefiniert und stetig.

Differenzierbarkeit von Parameterintegralen

Sei $U \subset \mathbb R^d$ offen, $(E,\Vert\cdot\Vert)$ ein Banachraum, $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ ein Maßraum. Für eine Abbildung $f : U \times \Omega \to E$ gelte

• $f(u,\cdot) \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,E)$ für jedes $u \in U$,
• $f(\cdot, \omega) \in C^1(U,E)$ (also differenzierbar) für $\mu-\text{f.a. }\omega \in \Omega$,
• Es gibt ein $g \in \mathcal L_1(\Omega,\mu,\mathbb R)$ mit $|\partial_u f(u,\omega)| \leqslant g(\omega)$ für $(u,\omega) \in U \times \Omega$.

Dann ist

$F : U \to E : u \mapsto \int_\Omega f(u,\omega)\mu(\mathrm d\omega)$

stetig differenzierbar mit

$\partial_j F(u) = \int_\Omega \frac{\partial}{\partial u^j} f(u,\omega) \mu(\mathrm d\omega), \quad u\in U, \quad 1\leqslant j \leqslant d.$

Merke: $\partial_u \int \cdots = \int \partial_u \cdots$

Leibnizregel für Parameterintegrale

Für die Praxis ist auch relevant, wie man Parameterintegrale mit abhängigen Funktion von $\omega$ in den Grenzen ableitet. Nach der Leibnizregel geschieht das nach folgendem Verfahren:

Für stetig differenzierbare Funktionen $\chi$, $\varphi$ und $f$ gilt

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} f(x,\omega)\mathrm{d}x = \int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} f_\omega(x,\omega) \mathrm{d}x + f(\varphi(\omega),\omega)\varphi'(\omega) - f(\chi(\omega),\omega) \chi'(\omega)$

oder in Differentialschreibweise nach Leibniz

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} f(x,\omega)\mathrm{d}x = \int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} \frac{\partial}{\partial \omega}f(x,\omega) \mathrm{d}x + f(\varphi(\omega),\omega) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\varphi(\omega) - f(\chi(\omega),\omega) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\chi(\omega).$

Herleitung

Man kann diese Regel ganz einfach herleiten, indem man sozusagen wie bei Produkt- als auch bei der Kettenregel vorgeht. In diesem Integral sind drei Funktionen, die von $\omega\,$ abhängen und nach diesen wird einzeln abgeleitet, während die anderen solange festgehalten werden:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi(\omega)} f(x,\omega)\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi}^{\varphi} f(x,\omega)\mathrm{d}x + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi}^{\varphi(\omega)} f(x)\mathrm{d}x + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi(\omega)}^{\varphi} f(x)\mathrm{d}x$

Wie man den ersten Term der rechten Seite ableitet, steht in der Merkregel bei Differenzierbarkeit von Parameterintegralen.

An das ${\varphi(\omega)}\,$ kommt man heran, indem man die Kettenregel anwendet. So wird aus dem zweiten Term der rechten Seite:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm d\omega }\int\limits_{\chi}^{\varphi(\omega)} f(x)\mathrm{d}x =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\varphi}}\Big({\int\limits_{\chi}^{\varphi} f(x)\mathrm{d}x}\Big) \cdot\frac{\mathrm{d}{\varphi}}{\mathrm d\omega }$

So wird auch nach dem variablen ${\chi(\omega)}\,$ differenziert.

Als Ergebnis erhalten wir einmal die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze multipliziert mit $\varphi'(\omega)$ und zweitens eine nach der unteren Grenze multipliziert mit $\chi'(\omega)$. Diese Integrale kann man tatsächlich ausrechnen, wie man aus dem Fundamentalsatz der Analysis weiß.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\varphi}}{\int\limits_{\chi}^{\varphi} f(x)\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\varphi}}\big( F(\varphi)-F(\chi)\big)=f(\varphi)$

und

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\chi}}{\int\limits_{\chi}^{\varphi} f(x)\mathrm{d}x} =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{\chi}}\big( F(\varphi)-F(\chi)\big)=-f(\chi)$

Alles zusammen führt dann zur Leibnizregel für Parameterintegrale, wie sie oben steht.

Literatur

• Harro Heuser: Analysis 2. 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-51932-232-3, S. 101ff.
• René L. Schilling: Measures, Integrals and Martingales 3. Auflage, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-61525-9, S. 92ff.