Pfeil-Paradoxon

Im Pfeil-Paradoxon denkt Zenon von Elea über die Wirklichkeit von Bewegung nach.

Zenon sagt, dass ein fliegender Pfeil in jedem Moment seiner Flugbahn einen bestimmten, exakt umrissenen Ort einnimmt. An einem exakt umrissenen Ort befindet sich der Pfeil in Ruhe, denn an einem Ort kann er sich nicht bewegen. Da sich der Pfeil in jedem Moment also in Ruhe befindet, müsste er sich insgesamt in Ruhe befinden. Paradox: Wir nehmen aber an, dass der Pfeil fliegt.

Antwort der klassischen Physik

Die klassische Physik beantwortet die Frage nach der Möglichkeit von Bewegung mit dem Konzept des unendlich Kleinen oder – anders gesagt – dem Grenzwertbegriff. Ausformuliert wurde dieses Konzept zwei Jahrtausende später von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz (unabhängig voneinander). Zu jedem Zeitpunkt $t\!$ befindet sich der Pfeil genau an einem Ort $s(t)\!\,$, und zum nächsten Zeitpunkt $t'>t\!\,$ bereits an einem anderen Ort $s(t')\!\,$. Die Geschwindigkeit

$v = \frac{s(t') - s(t)} {t' - t}$

bleibt in einem Inertialsystem (also ohne Beschleunigungen oder Abbremsungen) dabei für alle $t'\!\,$ gleich, also auch im Grenzfall $\lim_{t' \to t} v$.

Wenn Zenon also von einem Pfeilort $s(t')\!\,$ zu einem Zeitpunkt $t'\!\,$ redet, haben wir auch in diesem Fall die konstante Geschwindigkeit $v\!\,$ vorliegen. Nach den Gesetzen der Quantenmechanik ist dies jedoch physikalisch falsch. Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt hierzu: Je genauer der Ort $x\!\,$ des Pfeils bestimmt ist, desto unbestimmter ist seine Geschwindigkeit $v\!\,$ und umgekehrt. Im Gegensatz zu Zenon, der ja behauptet, dass der Pfeil im Ort $x\!\,$ ruht, besagt die Quantenmechanik, dass der Pfeil im Punkt $x\!\,$ überhaupt keine definierbare Geschwindigkeit hat.

Das Paradoxon wie auch das bekanntere Paradoxon von Achilles und der Schildkröte haben auch bei der Benennung des Quanten-Zeno-Effekts eine Rolle gespielt.

Zitate

„Das Bewegte bewegt sich weder in dem Raume, in dem es ist, noch in dem Raume, in dem es nicht ist.“

– Zenon von Elea

„Es bewegt sich etwas nur, nicht in dem es in diesem Jetzt hier ist und in einem anderen Jetzt dort, sondern in dem es in ein und demselben Jetzt hier und nicht hier, indem es in diesem Hier zugleich ist und nicht ist. Man muss den alten Dialektikern die Widersprüche zugeben, die sie in der Bewegung aufzeigen, aber daraus folgt nicht, dass darum die Bewegung nicht ist, sondern vielmehr dass die Bewegung der daseiende Widerspruch selbst ist.“

– G.W.F. Hegel

Literatur

• Frank Arntzenius: Are There Really Instantaneous Velocities? In: The Monist. 83 (2000), S. 187-208.
• Ofra Magidor: Another note on Zeno’s arrow. In: Phronesis. 53 (2008), S. 359-272. (Draft (PDF; 85 kB), für Abonnenten) (dort weitere Literatur)

Weblinks

• Eintrag In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of PhilosophyVorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3