Potentialfunktionmethode

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Potentialmethode ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel. Für das numerische Verfahren zur Lösung von Transportproblemen siehe MODI-Methode.

In der Komplexitätstheorie wird die Potential- bzw. Potentialfunktionmethode verwendet, um die amortisierte Zeit- und Speicherkomplexität von Datenstrukturen zu messen. Dabei wird die Komplexität über eine Sequenz von Operationen berechnet, was die Kosten von seltenen, aber teuren Operationen auf die Sequenz von Operationen verteilt und damit glättet[1].

Ziel dabei ist es, jeder Operation auf der betrachteten Datenstruktur einen mittleren Kostenwert zuzuweisen, um über diese die erwartete Laufzeit einer beliebigen Folge von Operationen nach oben abzuschätzen. Im Unterschied zur Bankkonto-Methode werden die Kosten a_i einer Operation Op_i nicht im Voraus festgesetzt, sondern hergeleitet. Hierzu wird eine Potentialfunktion \Phi: D_i \to \mathbb{R} eingeführt. Diese ordnet jedem inneren Zustand D_i der Datenstruktur ihr Potential zu. Seien c_i nun die maximalen realen Kosten der Operation Op_i, so ergibt sich der amortisierte Aufwand a_i als:

a_i = c_i + \Phi\left(D_i\right) - \Phi(D_{i-1})

Gilt nun, dass das Potential des Initialzustandes D_0 für alle Operationen Op_i einer beliebigen Operationenfolge nie unterschritten wird:

 \forall i \in \{1,\dots,n\}: \Phi(D_0) \le \Phi(D_i)

Dann ist die Summe der realen Kosten nie höher als die der amortisierten Kosten:

\sum_{i=1}^n c_i \le \sum_{i=1}^n a_i

Existiert nun beispielsweise eine Konstante C, welche die obere Grenze der amortisierten Kosten jeder Operation angibt:

 i \in \{1,\dots,n\}: a_i \le C

So können die Gesamtkosten der Operationenfolge mit n Operationen mit:

\sum_{i=1}^n c_i \le n \cdot C

angegeben werden.

Literatur[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. Kurt Mehlhorn, Peter Sanders: Algorithms and Data Structures, 2008 Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Kapitel 3.3.1 The Potential or Bank Account Method for Amortized Analysis, S. 72–74