Quotientenregel
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Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.
Sind die Funktionen u(x) und v(x) von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle x = xa mit
differenzierbar, dann ist auch die Funktion f mit
an der Stelle xa differenzierbar und es gilt:
.
In Kurzschreibweise:
[Bearbeiten] Erklärung
Der Quotient
kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten u(x) und v(x) sind (siehe Abbildung). Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann
Dividiert man durch Δx, so folgt
Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird
wie behauptet.
[Bearbeiten] Beweis
Gegeben sei
Nach der Produktregel gilt:
Mit der Kettenregel kann man berechnen:
Die rechte Seite oben Einsetzen liefert
[Bearbeiten] Literatur
Die Quotientenregel für Funktionen wird in jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt.
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig 72004. ISBN 3-528-67224-2
- Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
- C. H. Edwards Jr.: The Historical Development of the Calculus, 1979, Springer New York










