Quotientenregel

Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen u(x) und v(x) von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle x = x_a mit $v(x_a)\neq 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion f mit

$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$

an der Stelle x_a differenzierbar und es gilt:

$f'(x_a) = \frac{u'(x_a)\cdot v(x_a) - u(x_a)\cdot v'(x_a)}{(v(x_a))^2}$.

In Kurzschreibweise:

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - u v'}{v^2}$

Erklärung

Der Quotient $u(x) \over v(x)$ kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten u(x) und v(x) sind (siehe Abbildung). Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann

Quotientenregel

${ \Delta \left( {u \over v} \right) } = {{{ u + \Delta u } \over { v + \Delta v }} - { u \over v }} = {{ ( u + \Delta u ) \cdot v - u \cdot ( v + \Delta v ) } \over { ( v + \Delta v ) \cdot v }}$

$= {{ \Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }}$

Dividiert man durch Δx, so folgt

${{{ \Delta \left( {u \over v} \right) } \over {\Delta x}}} = {{{ \Delta u \over \Delta x } \cdot v - u \cdot {\Delta v \over \Delta x} } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }}$

Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird

${{\left( {u \over v} \right) '}} = {{ u ' \cdot v - u \cdot v ' } \over { v^2 }}$

wie behauptet.

Beweis

Gegeben sei $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}.$ Nach der Produktregel gilt:

$f'(x) = \left( u(x) \cdot \frac{1}{v(x)} \right)' = u'(x) \frac{1}{v(x)} + u(x) \left( \frac{1}{v(x)} \right)'.$

Nach der Kehrwertregel (ergibt sich z.B. direkt oder mit Hilfe der Kettenregel)

$\left( \frac1{v(x)} \right)' = - \frac{v'(x)}{v^2(x)}.$

folgt:

$f'(x) = u'(x) \frac1{v(x)} + u(x) \left( - \frac{v'(x)}{v^2(x)}\right) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v^2(x)}.$

Ein alternativer Beweis gelingt nur mit der Produktregel durch Ableiten der Funktionsgleichung $f(x)\cdot v(x) = u(x)$

$f'(x)\cdot v(x) + f(x)\cdot v'(x) = u'(x)$

folglich:

$f'(x) = \frac{u'(x)}{v(x)} - \frac{u(x)}{v(x)}\cdot\frac{v'(x)}{v(x)} = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v^2(x)}.$

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt.

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig ⁷2004. ISBN 3-528-67224-2
• Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
• C. H. Edwards Jr.: The Historical Development of the Calculus, 1979, Springer New York