Quotientenregel

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Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen $u (x)$ und $v (x)$ von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle $x = x a$ mit $v(x_a)\neq 0$ differenzierbar, dann ist auch die Funktion f mit

$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$

an der Stelle $x a$ differenzierbar und es gilt:

$f'(x_a) = \frac{u'(x_a)\cdot v(x_a) - u(x_a)\cdot v'(x_a)}{(v(x_a))^2}$ .

In Kurzschreibweise:

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \left( \frac{u'v - u v'}{v^2} \right)$

[Bearbeiten] Erklärung

Der Quotient $u(x) \over v(x)$ kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten u(x) und v(x) sind (siehe Abbildung). Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann

Quotientenregel

${ \Delta \left( {u \over v} \right) } = {{{ u + \Delta u } \over { v + \Delta v }} - { u \over v }} = {{ ( u + \Delta u ) \cdot v - u \cdot ( v + \Delta v ) } \over { ( v + \Delta v ) \cdot v }}$

$= {{ \Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }}$

Dividiert man durch Δx, so folgt

${{{ \Delta \left( {u \over v} \right) } \over {\Delta x}}} = {{{ \Delta u \over \Delta x } \cdot v - u \cdot {\Delta v \over \Delta x} } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }}$

Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird

${{\left( {u \over v} \right) '}} = {{ u ' \cdot v - u \cdot v ' } \over { v^2 }}$

wie behauptet.

[Bearbeiten] Beweis

Gegeben sei $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}.$ Nach der Produktregel gilt:

$f'(x) = \left( u(x) \cdot \frac{1}{v(x)} \right)' = u'(x) \frac{1}{v(x)} + u(x) \left( \frac{1}{v(x)} \right)'.$

Mit der Kettenregel kann man berechnen:

$\left( \frac{1}{v(x)} \right)' = - \frac{1}{(v(x))^2} v'(x).$

Die rechte Seite oben Einsetzen liefert

$f'(x) = u'(x) \frac{1}{v(x)} + u(x) \left( - \frac{1}{(v(x))^2} v'(x) \right) = \frac{u'(x) v(x) -u(x) v'(x)}{(v(x))^2}.$

[Bearbeiten] Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt.

Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig ⁷2004. ISBN 3-528-67224-2
Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
C. H. Edwards Jr.: The Historical Development of the Calculus, 1979, Springer New York