Rechtssystem (Mathematik)

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Achsenorientierung und Drehsinn linkshändiger und rechtshändiger Koordinatensysteme

Als Rechtssystem bzw. rechtshändiges Koordinatensystem wird in der Mathematik und Physik ein System zweier Vektoren in der Ebene bzw. dreier Vektoren im Raum, z. B. ${\vec {x}},{\vec {y}}$ und ${\vec {z}}$, bezeichnet, bei dem jeder dieser Vektoren aus seinem Vorgänger auf kürzestem Wege durch Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn, d. h. im mathematisch positiven Drehsinn, hervorgeht und seinerseits auf kürzestem Wege durch Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn in seinen Nachfolger überführt wird und z. B. bei einem Rechtssystem dreier Vektoren ${\vec {x}},{\vec {y}}$ und ${\vec {z}}$ ihr Spatprodukt $({\vec {x}}\times {\vec {y}})\cdot {\vec {z}}$ dadurch ebenfalls positiv wird. Über den Zusammenhang des Spatproduktes mit der Determinante gelangt man zu folgender Aussage: Ein Rechtssystem ist allgemein ein geordnetes Tupel $({\vec {x}}_{1},...{\vec {x}}_{n})$ von Spaltenvektoren der Dimension n (mit n=2 oder n=3), bei der die Determinante der Matrix mit den Spaltenvektoren ${\vec {x}}_{1},...{\vec {x}}_{n}$ positiv ist.

Für Linkssysteme bzw. linkshändige Koordinatensysteme dagegen gilt das Umgekehrte: Jeder der drei Vektoren geht dabei nun durch Drehung im Uhrzeigersinn, d. h. mathematisch negativen Drehsinn auf kürzestem Weg aus seinem Vorgänger hervor, so wie er selbst seinerseits auf kürzestem Weg durch Drehung im Uhrzeigersinn in seinen jeweiligen Nachfolger überführt wird. (gleiches gilt analog für ebene Systeme nur zweier Vektoren, z. B. ${\vec {x}}$ und ${\vec {y}}$). Ein Linkssystem ist dementsprechend ein geordnetes Tupel von Spaltenvektoren, bei dem die dazugehörige Matrix eine negative Determinante hat.

Ob drei Vektoren ein Rechts- oder Linkssystem bilden, lässt sich mit Hilfe folgender Regeln bestimmen:

• mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand (auch Rechte-Hand-Regel): Zeigt der abgespreizte Daumen in Richtung des ersten Vektors und der ausgestreckte Zeigefinger in Richtung des zweiten Vektors, zeigt der rechtwinklig zu Daumen und Zeigefinger abgespreizte Mittelfinger bei einem Rechtssystem in Richtung des dritten Vektors (das funktioniert auch bei zyklischer Vertauschung der Finger oder Vektoren: x-y-z, y-z-x, z-x-y).
• mit der Schrauben- oder Korkenzieherregel: Wird der erste Vektor so gedreht, dass er dabei auf kürzestem Wege in den zweiten Vektor überführt wird, bewegt sich, sofern alle drei Vektoren ein Rechtssystem bilden, eine im gleichen Sinn gedrehte Schraube mit Rechtsgewinde in Richtung des dritten Vektors.

Für 2-dimensionale Systeme kann eine der Drei-Finger-Regel analoge Regel wie folgt formuliert werden: Zeigt der Daumen der nach oben geöffneten rechten Hand in die positive x-Richtung, zeigen bei einem rechtshändigen System alle übrigen Finger in die positive y-Richtung – tun sie es nicht, handelt es sich um ein linkshändiges System.

Beispiele

• Die Achsen des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems bilden in seiner üblichen Achsenorientierung (z. B. x-Achse zum Betrachter, y-Achse nach rechts, z-Achse nach oben) ein Rechtssystem
• Das geodätische Koordinatensystem ist dagegen, dem Drehsinn beim Kompass folgend, ein Linkssystem.
• Ein ebenfalls weitverbreitetes Linkssystem ist das der Pixelkoordinaten bei Grafikprogrammen, bei denen der Koordinatenursprung (0|0) üblicherweise in der linken oberen Bildschirmecke liegt und die x-Koordinaten (Grafikspalten) von dort aus nach rechts, die y-Koordinaten (Grafikzeilen) dagegen nach unten gezählt werden, die Koordinaten eines Bildpunkts also zu seiner Bildschirmdarstellung zunächst einmal stets einer entsprechenden Koordinatentransformation unterzogen werden müssen.

Siehe auch

• Drehrichtung