Kartesisches Koordinatensystem (Geodäsie)

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Achsenorientierung und Drehsinn geodätischer und mathematischer Koordinatensysteme

In der Geodäsie werden linkshändige kartesische Koordinatensysteme benutzt. Die x-Achse (Abszisse) wird als Hauptachse angesehen, die y-Achse (Ordinate) erhält man durch Drehen der x-Achse um 100 gon (90°) im Uhrzeigersinn um den Koordinatenursprung.

Die x-Achse zeigt in Karten und Plänen meist nach oben, die y-Achse nach rechts. Bei Landeskoordinaten zeigt die x-Achse nach Norden und die y-Achse nach Osten. Im Vergleich zu rechtshändigen kartesischen Koordinatensystemen der Mathematik sind die x- und y-Achsen also vertauscht. Der „geodätisch positive“ Drehsinn verläuft im Uhrzeigersinn und nicht wie der „mathematisch positive“ gegen den Uhrzeigersinn.

Die Höhe als dritte Koordinate (auch Applikate genannt) wurde – wenn überhaupt – lange getrennt von den Lagekoordinaten bestimmt und nachgewiesen. Wegen dieser Trennung von Lage und Höhe bestand keine Notwendigkeit für dreidimensionale Berechnungen. In dem Maße jedoch, wie auch in der Geodäsie dreidimensionale Raumbezüge an Bedeutung gewinnen, zum Beispiel durch Satellitenpositionierung, nimmt auch die Bedeutung von dreidimensionalen Koordinatensystemen zu.

Örtliche Koordinaten[Bearbeiten]

Bei örtlichen Koordinatensystemen, d. h. Koordinatensystemen, die (vorerst) nicht an ein landesweites Bezugssystem angeschlossen werden, werden die x-Achse und der Nullpunkt zweckmäßig gewählt. Sie kann beispielsweise die Hauptachse eines Bauwerks oder eine Polygonseite sein und muss nicht nach Norden zeigen. Die y-Achse zeigt von dieser Achse nach rechts. Zur Vermeidung von negativen Koordinaten können zu den Koordinaten positive Werte addiert werden, wodurch sich der Koordinatenursprung verschiebt. Bei Messungslinien im Orthogonalverfahren bedeuten positive Ordinaten, dass ein Punkt rechts der Messsungslinie liegt, Punkte mit negativen Ordinaten liegen links.

Landeskoordinaten[Bearbeiten]

Koordinatenursprung[Bearbeiten]

Die Abbildung zeigt ein fiktives Koordinatensystem mit dem in der Praxis (UTM, GK) weitverbreiteten false easting von 500.000 m. Der Hochwert ist fiktiv, die Neigung der benachbarten Längengrade ebenfalls.

Für den Längengrad des Fundamentalpunktes oder, entsprechend, dem Mittelmeridian einer transversalen Mercator-Projektion wird dazu statt eines Koordinatenwertes 0 je nach der Ausdehnung des abzubildenden Gebietes sowie anderen praktischen Erwägungen ein Koordinatenwert willkürlich festgesetzt („false easting“, siehe nebenstehende Abb.). So erhält man für jeden darstellbaren Punkt einen positiven „Rechtswert“ (y-Wert). Da mit der Nord-Süd-Richtung („Hochwert“, x-Wert, „false northing“ ) entsprechend verfahren wird, ergibt sich für gewöhnlich eine Beschränkung auf den ersten Quadranten des Koordinatensystems, d.h. es werden zwar alle Quadranten definiert, praktisch benutzt aber werden nur Koordinaten des ersten Quadranten.

Rechtswert (y-Wert)[Bearbeiten]

Als Rechtswert wird in ebenen kartesischen geografischen Koordinatensystemen der Abstand einer Koordinate von der (hier vertikal verlaufenden) Abszisse bzw. x-Achse bezeichnet. Der Rechtswert gibt also die Entfernung zum nächsten Mittelmeridian an und entspricht damit dem y-Wert bzw. dem englischen „easting“.

Zur besseren Handhabung in der Praxis vermeidet man negative Rechtswerte (für Gebiete westlich der Abszisse bzw. des Bezugsmeridians), indem man statt Null (also dem Mittelmeridian) willkürlich einen definierten Rechtswert festsetzt (im englischen Sprachraum als "false easting" bezeichnet, s.o.).

So wurde beispielsweise der Koordinatenursprung der schweizerischen Landesvermessung um 600 km nach Westen in die Gegend von Bordeaux verschoben, um eine Verwechslung von Rechts- und Hochwert auszuschließen: Koordinatenwerte unter 400.000 m müssen dort Hochwerte sein, Werte darüber sind immer Rechtswerte, sodass keine Reihenfolge der Koordinatenbestandteile definiert zu werden braucht bzw. Vertauschungen anhand der Werte erkannt werden können. Das finnische YKJ-System verlegt den Koordinatenursprung gar um 3.500 km westlich, um horizontal wie vertikal immer 7-stellige Koordinaten zu erhalten. Ein false-easting von 500 km für den Mittelmeridian wie beim UTM-Koordinatensystem sorgt dafür, dass sich der gesamte gültige Wertebereich des Rechtswerts (6-stellig) zwischen 100.000 und 900.000 hält.

Beispiel im Gauß-Krüger-System (mit 500 km false easting): R 4541238. R verdeutlicht, dass es sich um den Rechtswert handelt. Die erste Zahl (in diesem Fall die 4) stellt die Kennziffer für den jeweiligen Längengrad dar. Hier also für den Mittelmeridian 12°E (4·3=12). Die restlichen Zahlen geben nun in Metern an, wie weit der Punkt vom Mittelmeridian entfernt ist, nachdem man die 500 km abgezogen hat. Die gesuchte Linie (erst mit einem dazugehörigen Hochwert ergibt sich ein Punkt) liegt also 41,238 km östlich des Längengrads 12°E (bzw. Zone 4)

Hochwert (x-Wert)[Bearbeiten]

Als Hochwert wird der in Nord-Richtung gemessene Abstand einer Koordinate zu ihrem Fußpunkt auf der waagerecht verlaufenden Basislinie des Koordinatensystems (hier der y-Achse) bezeichnet. Die Bezeichnung Hochwert entspricht damit dem x-Wert bzw. dem englischen „northing“, wobei durch entsprechend gewählte Lagen der y-Achse (z.B. für Europa auf dem Äquator) ebenfalls immer positive Hochwerte erreicht werden können.

Rechts- und Hochwert bilden die zweidimensionalen Koordinaten eines Punktes.

Anwendungen[Bearbeiten]

Auf Grund der Kugelform der Erde können kartesische Koordinatensysteme nur Gebiete begrenzter Ausdehnung praktisch ohne Verzerrungen (längentreu) abbilden. Sie gingen historisch von einem lokalen Fundamentalpunkt trigonometrischer Landvermessungen aus und wurden entlang einer Mittelsenkrechten (Längen-Null, Mittelmeridian) aufgespannt, die typischer- aber nicht notwendigerweise dem Meridian des Fundamentalpunktes entsprach. Moderne Koordinatensysteme nutzen als Bezugs- oder Mittelmeridian durch 3 teilbare Längengrade.

Praktische Anwendungen kartesischer Koordinatensysteme in der Geodäsie sind

Literatur[Bearbeiten]

  •  Bertold Witte, Peter Sparla: Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen. 7. Auflage. Wichmann, Berlin 2011, ISBN 978-3-87907-497-6, Koordinatensysteme.