Reflexionsprinzip (Stochastik)

Das Reflexionsprinzip, auch Spiegelungsprinzip oder Reflektionsprinzip genannt, ist eine Aussage über Irrfahrten aus der Theorie der stochastischen Prozesse und somit der Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuordnen. Das Reflexionsprinzip ist eine Folgerung aus der starken Markow-Eigenschaft und wird in unterschiedlichen Versionen formuliert, unter anderem für den Wiener-Prozess. Anschaulich liefert das Reflexionsprinzip eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass ein stochastischer Prozess vor einem gewissen Zeitpunkt einen vorgegebenen Schwellenwert bereits einmal überschritten hat.

Reflexionsprinzip für die symmetrische Irrfahrt

Gegeben sei eine Folge $(Y_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von unabhängig identisch verteilten sowie symmetrischen und reellwertigen Zufallsvariablen.

Sei $X_{0}:=0$ und

$X_{n}:=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}$

Dann gilt für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle $r>0$

$P\left(\sup _{m\leq n}X_{m}\geq r\right)\leq 2P(X_{n}\leq r)+P(X_{n}=r)$

Nehmen die $Y_{i}$ fast sicher Werte aus $\{-1,0,1\}$ an, so gilt in der obigen Ungleichung Gleichheit.

Reflexionsprinzip für den Wiener-Prozess

Sei $(W_{t})_{t\in \mathbb {R} ^{+}}$ ein Wiener-Prozess sowie $T>0$ und $r>0$. Dann gilt

$P(\sup\{B_{t}\,|\,t\in [0,T]\}>r)=2P(B_{T}>r)=P(|B_{T}|>r)$.

Über die Dichte der Normalverteilung erhält man die weitere Abschätzung

$P(|B_{T}|>r)\leq {\sqrt {\frac {4T}{2\pi r^{2}}}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{2T}}\right)$.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.