Satz von Cauchy (Geometrie)

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Der Satz von Cauchy (auch Cauchy-Theorem) geht zurück auf den französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy und besagt, dass für jeden konvexen Körper der gemittelte Flächeninhalt seiner Parallelprojektionen in die Ebene stets ein Viertel seiner Oberfläche beträgt.

Anders formuliert: der Erwartungswert bei zufällig gewählter Projektionsrichtung für das Verhältnis zwischen dem Flächeninhalt der Projektion und dem Inhalt der Oberfläche des Ursprungskörpers beträgt .

Beispiele

Für eine Kugel ist die Gültigkeit trivial zu zeigen: das Abbild einer Kugel vom Radius bei paralleler Projektion in die Ebene ist stets ein Kreis vom gleichen Radius. Damit ist der Flächeninhalt jedes Bildes und damit genau ein Viertel der Kugeloberfläche .

Die folgenden beiden Beispiele sollen lediglich den Sachverhalt verdeutlichen (die Werte in der rechten Spalte schwanken jeweils um den Wert ):

  • Das Bild eines Würfels mit Kantenlänge ist je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:
Projektionsrichtung Bild Flächeninhalt des Bildes Verhältnis zur Würfeloberfläche
parallel zu einer Kante ein Quadrat mit Seitenlänge
parallel zu einer Flächendiagonale ein Rechteck mit Seitenlängen und
parallel zu einer Raumdiagonale ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge
andere Richtungen unregelmäßige (aber punktsymmetrische) Sechsecke unterschiedlich unterschiedlich
  • Ebenso ist das Bild eines regelmäßigen Tetraeders mit Kantenlänge je nach Projektionsrichtung unterschiedlich:
Projektionsrichtung Bild Flächeninhalt des Bildes Verhältnis zur Tetraederoberfläche
entlang einer Kante ein gleichschenkeliges Dreieck mit Basis und Höhe
parallel zu einer Höhe ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge
normal zu zwei windschiefen Kanten ein Quadrat mit Seitenlänge
andere Richtungen unregelmäßige Dreiecke oder Vierecke unterschiedlich unterschiedlich

Verallgemeinerung

Im Fall eines konvexen Körpers im -dimensionalen euklidischen Raum ist der Faktor 4 durch zu ersetzen, wenn das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet.

Siehe auch