Satz von Kirszbraun
In der Mathematik ist der Satz von Kirszbraun (auch: Fortsetzungssatz von Kirszbraun oder Satz von Kirszbraun-Valentine) ein Lehrsatz über die Fortsetzbarkeit Lipschitz-stetiger Abbildungen, er ist nach dem polnischen Mathematiker Mojżesz Dawid Kirszbraun benannt.
Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei
eine auf einer Teilmenge definierte Lipschitz-stetige Abbildung mit Lipschitz-Konstante , dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung
mit derselben Lipschitz-Konstante
und mit
Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für kann man explizit definieren durch
für alle .
Dieselbe Formel funktioniert auch für Teilmengen beliebiger metrischer Räume und ist in diesem Kontext als Lemma von McShane bekannt.
Für kennt man keine solche geschlossene Formel.
Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Satz von Kirszbraun gilt auch für Hilberträume, aber nicht für beliebige Banachräume.
Seien Hilberträume und eine auf einer Teilmenge definierte Lipschitz-stetige Abbildung, dann gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung mit derselben Lipschitz-Konstanten und mit
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- M. Kirszbraun: Über die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. Fund. Math. 22 (1935), 77–108. online (PDF; 2,1 MB)
- F. Valentine: A Lipschitz condition preserving extension for a vector function. Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93. online (pdf)
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Fremlin: Kirszbraun's Theorem
- Kirszbraun Theorem (Encyclopedia of Mathematics)