Spektralradius

Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.

Spektralradius von Matrizen

Definition

Der Spektralradius einer $(n \times n)$-Matrix $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von A, das heißt

$\rho(A) := \max \limits_{1 \le i \le n} |\lambda_i(A)|$.

Dabei durchläuft λ_i die höchstens n verschiedenen Eigenwerte von A.

Eigenschaften

Jede induzierte Matrixnorm von A ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich λ ein Eigenwert zu einem Eigenvektor v von A, dann gilt

$\|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} \geq \frac{\|Av\|}{\|v\|} = \frac{\|\lambda v\|}{\|v\|} = |\lambda| \frac{\|v\|}{\|v\|} = |\lambda|$.

Allgemeiner gilt diese Abschätzung für alle mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen. Weiterhin gibt es zu jedem ε > 0 wenigstens eine induzierte Norm (die für verschiedene Matrizen A unterschiedlich sein kann), so dass

$\rho(A)\le\|A\|<\rho(A)+\epsilon$

gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm

$\rho(A)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}$.

Anwendungen

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls $\rho \left(I-B^{-1}A\right) < 1$, dann konvergiert die Iteration

$x_{k+1} = B^{-1}\left(B-A\right)x_k+B^{-1}b$

für jeden Startvektor x₀ gegen die exakte Lösung x^* des linearen Gleichungssystems Ax = b.

Spektralradius in der Funktionalanalysis

Definition

Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator A definiert man

$\rho(A) := \sup\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(A)\}$,

wobei σ(A) das Spektrum von A ist.

Eigenschaften

Man kann zeigen, dass das Supremum angenommen wird, also ein Maximum vorliegt. Außerdem kann man auch hier zeigen, dass

$\rho(A)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}$

gilt, wobei $\|\cdot\|$ hier die Operatornorm meint. Der Spektralradius eines Operators ist ebenfalls wie im endlichdimensionalen immer kleiner oder gleich der Norm des Operators. Es gilt als $\rho(A) \leq \|A\|$. Ist A ein normaler Operator auf einem Hilbertraum, dann gilt immer Gleichheit.

Literatur

• Stoer: Numerische Mathematik, Springer-Verlag, Berlin, 2005, ISBN 3-540-21395-3
• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6