Spektralradius

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Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.

Spektralradius von Matrizen[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Der Spektralradius \rho einer (n \times n)-Matrix A \in \mathbb{C}^{n \times n} ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von A, das heißt \rho ist definiert durch

\rho(A) := \max \limits_{1 \le i \le n} |\lambda_i(A)|.

Dabei durchläuft \lambda_i die höchstens n verschiedenen Eigenwerte von A. Der Spektralradius wird auch mit \operatorname{spr}(A) anstatt mit \rho(A) notiert.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Jede induzierte Matrixnorm von A ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich \lambda ein Eigenwert zu einem Eigenvektor v von A, dann gilt

\|A\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} \geq \frac{\|Av\|}{\|v\|} = \frac{\|\lambda v\|}{\|v\|} = |\lambda| \frac{\|v\|}{\|v\|} = |\lambda|.

Allgemeiner gilt diese Abschätzung für alle mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen. Weiterhin gibt es zu jedem \epsilon>0 wenigstens eine induzierte Norm (die für verschiedene Matrizen A unterschiedlich sein kann), so dass

\rho(A)\le\|A\|<\rho(A)+\epsilon

gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm

\rho(A)=\inf_{n\in\mathbb{N}}\sqrt[n]{\|A^n\|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}.

Anwendungen[Bearbeiten]

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls \rho \left(I-B^{-1}A\right) < 1, dann konvergiert die Iteration

x_{k+1} = B^{-1}\left(B-A\right)x_k+B^{-1}b

für jeden Startvektor x_0 gegen die exakte Lösung x^\ast des linearen Gleichungssystems Ax=b.

Spektralradius in der Funktionalanalysis[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator A definiert man

\rho(A) := \sup\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(A)\},

wobei \sigma(A) das Spektrum von A ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Da das Spektrum abgeschlossen ist, wird das Supremum angenommen, es liegt also ein Maximum vor.

Außerdem kann man auch hier zeigen, dass

\rho(A)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\|A^n\|}

gilt, wobei \|\cdot\| hier die Operatornorm meint.

Der Spektralradius eines Operators ist ebenfalls, wie im endlichdimensionalen, immer kleiner oder gleich der Norm des Operators, d.h. \rho(A) \leq \|A\|.

Ist A ein normaler Operator auf einem Hilbertraum, dann gilt immer Gleichheit.

Literatur[Bearbeiten]