Stieltjes-Konstanten

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Die Stieltjes-Konstanten \gamma_n sind eine Folge reeller Zahlen, die durch folgenden Grenzwert definiert sind:


\gamma_n := \lim_{N\to \infty}  \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n k}{k} - \frac{\log^{n+1} N}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots

wobei \gamma_0 die Eulersche Konstante \gamma ist. Es wird vermutet, dass die \gamma_n irrational sind. Ein Beweis dafür konnte bislang nicht erbracht werden. Aufgrund ihrer Definition werden sie gelegentlich auch als verallgemeinerte Eulersche Konstanten bezeichnet. Sie treten in der Laurent-Entwicklung der Riemannschen Zetafunktion


    \zeta(s) = \frac1{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\gamma_n}{n!}(s-1)^n

und bei der Auswertung gewisser bestimmter Integrale auf:


\int\limits_0^{\infty}\frac{\log^2 x}{e^x+1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\log2\big(\log^2 2 + \zeta(2) - \gamma^2 - 2\gamma_1\big) = 1{,}121192486\dots

Sie hängen eng mit den Zahlen

 \tau_n := \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{\log^n k}{k}, \quad n = 0, 1, 2, \dots

zusammen. Diese lassen sich numerisch gut über eine Konvergenzbeschleunigung (fortgesetzte Mittelung) berechnen. Es gilt die Rekursion


\tau_0=\log2,\qquad\tau_n = \frac{\log^{n+1}2}{n+1} - \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}\log^{n-k}2\cdot\gamma_k,\qquad n = 1, 2, \dots

und die explizite Darstellung mit Hilfe der Bernoullischen Zahlen:


\gamma_n = -\frac1{n+1}\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}B_{n+1-k}\log^{n-k}2 \cdot \tau_k, \quad n = 0, 1, 2, \dots

Aus der Rekursion ergibt sich für n=1 die Identität \tau_1 = \tfrac12\log^2 2 - \gamma\log2, d. h. für die Eulersche Konstante die alternierende Reihe


\gamma = \frac{1}{2}\log2 + \frac1{\log2}\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log k}{k}
= \frac{1}{2}\log2 + \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\log_2 k}{k},

die der Reihe von Vacca sehr ähnlich ist.

Die Folge \gamma_n zeigt ein oszillierendes Verhalten mit asymptotisch langsam gegen 0 sinkender „Frequenz“. Bekannt ist das

 \limsup_{n \to \infty} \frac{\ln |\gamma_n| }{n} = \ln \ln n

gilt.

Numerische Werte[Bearbeiten]

n Dezimalentwicklung von γn OEIS
0 0,577215664901532860606512090082 ... A001620
1 -0,0728158454836767248605863758749 ... A082633
2 -0,00969036319287231848453038603521 ... A086279
3 0,00205383442030334586616004654275 ... A086280
4 0,00232537006546730005746817017752 ... A086281
5 0,000793323817301062701753334877444 ... A086282
6 -0,000238769345430199609872421841908 ... A183141
7 -0,000527289567057751046074097505478 ... A183167
8 -0,000352123353803039509602052165001 ... A183206
9 -0,000034394774418088048177914623798 ... A184853
10 0,000205332814909064794683722289237 ... A184854

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Für die Hurwitzsche Zetafunktion ist von Bedeutung:


\gamma_n(a) := \lim_{N\to \infty}  \left(\sum_{k=1}^N\frac{\log^n(k+a)}{k+a} - \frac{\log^{n+1} (N+a)}{n+1}\right), \quad n = 0, 1, 2,\dots

Literatur[Bearbeiten]

  • Rick Kreminski. Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes (generalized Euler) constants. Mathematics of Computation, V.72, No 243, p. 1379-1397, 2003
  • Charles Knessl and Mark W, Coffey, An effective asymptotic formula for the Stieltjes Constants, Math. of Comp., V.80, No 273, p. 379-386, 2010

Weblinks[Bearbeiten]