t-Test

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Der t-Test ist ein Begriff aus der mathematischen Statistik, er bezeichnet eine Gruppe von Hypothesentests.

Den t-Test im eigentlichen Sinn gibt es nicht. Es handelt sich hier lediglich um einen beliebigen Hypothesentest mit t-verteilter Testprüfgröße. Bei einem t-Test im engeren Sinne werden Hypothesen über Erwartungswerte einer oder zweier normalverteilter Grundgesamtheiten getestet.

Weitere wichtige Tests mit t-verteilter Prüfgröße sind:

Der t-Test ist ein Spezialfall des Wald-Tests.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] t-Tests für den Erwartungswert einer normalverteilten Stichprobe

[Bearbeiten] Grundidee

Sind X_1, X_2, \dots, X_n unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ, dann ist ihr arithmetisches Mittel \bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i ebenfalls normalverteilt mit Erwartungswert μ und hat die Standardabweichung \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. Daher ist der standardisierte Mittelwert Z = \sqrt{n}\frac{\bar X - \mu}{\sigma} standardnormalverteilt und könnte mit einem Gauß-Test getestet werden.

Normalerweise ist jedoch die Standardabweichung unbekannt. In diesem Fall liegt es nahe, sie durch die empirische Standardabweichung S = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(X_i - \bar X )^2}{n-1}} zu schätzen und als Testprüfgröße

T = \sqrt{n}\frac{\bar X - \mu}{S}

zu verwenden. Dieser Wert ist allerdings nicht mehr normalverteilt, sondern t-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Ist er für eine konkrete Stichprobe so groß (oder so klein), dass dieser oder ein noch extremerer Wert unter der Nullhypothese hinreichend unwahrscheinlich ist, wird die Nullhypothese abgelehnt.

[Bearbeiten] Vorgehen

Für eine Stichprobe x_1, x_2, \dots, x_n aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit unbekanntem Erwartungswert μ und unbekannter Standardabweichung σ soll die Nullhypothese H0:μ = μ0 (mit einem festen vermuteten Wert μ0) gegen die zweiseitige Alternative H_1 \colon \mu \neq \mu_0 getestet werden. Dazu wird mit dem Stichprobenmittelwert \bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i und der Stichprobenstandardabweichung s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar x)^2}{n-1}} die Testprüfgröße t = \sqrt{n}\frac{\bar x - \mu_0}{s} berechnet. Die Nullhypothese wird zum Signifikanzniveau α abgelehnt, falls |t| > t(1-\tfrac{\alpha}{2}, n-1) ist, dem (1 - \tfrac{\alpha}{2})-Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.

Die Prüfgröße t kann auch zum Testen der einseitigen Alternative μ > μ0 gegen die Nullhypothese \mu \leq \mu_0 zum Signifikanzniveau α verwendet werden. Diese wird nun abgelehnt, wenn t > t(1-\alpha,\ n-1) gilt. Analog wird die Nullhypothese \mu \geq \mu_0 abgelehnt, wenn t < -t(1-\alpha,\ n-1) ist.

[Bearbeiten] Beispiel 1

Es soll getestet werden, ob die durchschnittliche Laufzeit von Notebook-Akkus tatsächlich mindestens 3,5 Stunden beträgt, wie vom Hersteller behauptet. Dazu werden bei 10 Akkus dieser Marke unter kontrollierten gleichen Bedingungen die Laufzeiten gemessen. Es ergibt sich ein empirischer Mittelwert von 3,25 Stunden mit einer Standardabweichung von 0,31 Stunden. Daraus berechnet sich als Prüfgröße ein t-Wert von t = \sqrt{10}\frac{3{,}25-3{,}5}{0{,}31} \approx -2{,}55. Für das 0,95-Quantil der t-Verteilung mit 10 − 1 = 9 Freiheitsgraden findet man mit Hilfe einer t-Tabelle oder eines Computerprogramms den Wert t(0,95;9) = 1,833. Wegen t < − 1,833 kann die Nullhypothese, dass der Erwartungswert der Laufzeit größer oder gleich 3,5 Stunden ist, zum Signifikanzniveau \alpha = 5\% abgelehnt werden. Die Akkus erreichen also nicht die behaupteten Laufzeiten.

[Bearbeiten] t-Tests für gepaarte Stichproben

Hier sind x_1, x_2, \dots, x_n und y_1, y_2, \dots, y_n zwei paarweise verbundene Stichproben, die beispielsweise aus zwei Messungen an denselben Untersuchungseinheiten gewonnen wurden (Messwiederholung). Die Stichproben können auch aus anderen Gründen paarweise abhängig sein, z.B., wenn die x- und y-Werte Messergebnisse von Frauen bzw. Männern in einer Partnerschaft sind und Unterschiede zwischen den Geschlechtern interessieren.

Soll die Nullhypothese getestet werden, dass die beiden Erwartungswerte der zugrunde liegenden normalverteilten Grundgesamtheiten gleich sind, so können mit dem oben beschriebenen Einstichproben-t-Test die Differenzen di = xi − yi auf den Erwartungswert 0 getestet werden.

[Bearbeiten] Beispiel 2

Um eine neue Therapie zur Senkung des Cholesterinspiegels zu testen, werden bei zehn Probanden vor und nach der Behandlung die Cholesterinwerte bestimmt. Es ergeben sich die folgenden Messergebnisse:

vor der Behandlung:   223  259  248  220  287  191  229  270  245  201
nach der Behandlung:  220  244  243  211  299  170  210  276  252  189
Differenz:              3   15    5    9  -12   21   19   -6   -7   12

Die Differenzen der Messwerte haben das arithmetisches Mittel \bar d = 5{,}9 und die Stichprobenstandardabweichung sd = 11,39. Das ergibt als Prüfgrößenwert

t=\sqrt{10}\frac{5{,}9}{11{,}39}=1{,}6385.

Es ist t(0{,}975;\ 9) = 2{,}2622, also gilt |t| \leq t(0{,}975;\ 9). Somit kann die Nullhypothese, dass die Erwartungswerte der Cholesterinwerte vor und nach der Behandlung gleich sind, die Therapie also keine Wirkung hat, zum Signifikanzniveau \alpha=5\% nicht abgelehnt werden. Wegen t<t(0{,}95;\ 9) = 1{,}8331 ist auch die einseitige Alternative, dass die Therapie den Cholesterinspiegel senkt, nicht signifikant. Wenn die Behandlung überhaupt einen Effekt hat, so ist dieser nicht groß genug, um ihn mit einem so kleinen Stichprobenumfang zu entdecken.

[Bearbeiten] t-Tests für zwei unabhängige Stichproben

Gegeben sind nun zwei unabhängige Stichproben x_1, x_2,\dots, x_n und y_1, y_2, \dots, y_m jeweils aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit den Erwartungswerten μx bzw. μy und unbekannter, aber gleicher Standardabweichung σ. Es soll die Nullhypothese H0:μx = μy gegen die zweiseitige Alternative H_1 \colon \mu_x \neq \mu_y getestet werden. Dazu wird mit den Stichprobenmittelwerten \bar x, \bar y, den Stichprobenvarianzen s_x^2, s_y^2 und der sogenannten gewichteten Varianz

s^2 = \frac{(n-1)s_x^2 + (m-1)s_y^2}{n+m-2}

die Prüfgröße

t = \sqrt{\frac{nm}{n+m}} \frac{\bar x - \bar y}{s}

berechnet. (Bei gleich großen Stichproben, also m = n, vereinfacht sich diese Formel zu t = \frac{\bar x - \bar y}{\sqrt{(s_x^2 + s_y^2)/n}}). Die Prüfgröße ist t-verteilt mit n + m − 2 Freiheitsgraden, also wird H0 zum Signifikanzniveau α abgelehnt, wenn |t| > t(1-\frac{\alpha}{2},\ n+m-2) gilt. Es können auch wieder einseitige Hypothesen getestet werden: Zum Beispiel wird die Nullhypothese \mu_x \leq \mu_y zugunsten der Alternative μx > μy abgelehnt, wenn t > t(1-\alpha,\ n+m-2) gilt.

[Bearbeiten] Beispiel 3

Zwei Düngemittelsorten sollen verglichen werden. Dazu werden 10 Parzellen mit Sorte A und 15 Parzellen mit Sorte B gedüngt. Bei ersteren ergibt sich ein mittlerer Ernteertrag \bar x = 23{,}6 mit Stichprobenvarianz s_x^2 = 9{,}5 und bei den anderen Parzellen das Mittel \bar y = 20{,}1 mit Varianz s_y^2 = 8{,}9. Für die gewichtete Varianz berechnet man damit

s^2 = \frac{9\cdot 9{,}5 + 14 \cdot 8{,}9}{10+15-2} = 9{,}135.

Daraus erhält man die Prüfgröße

t = \sqrt{\frac{10 \cdot 15}{10+15}} \cdot \frac{23{,}6-20{,}1}{\sqrt{9{,}135}} = 2{,}837.

Dieser Wert ist größer als das 0,975-Quantil der t-Verteilung mit 10 + 15 − 2 = 23 Freiheitsgraden t(0{,}975;\ 23) = 2{,}069. Es kann also mit einer Konfidenz von 95 \% behauptet werden, dass ein Unterschied in der Wirkung der beiden Düngemittel besteht. Wegen \bar x > \bar y ist Sorte A besser.

[Bearbeiten] Testen der Voraussetzungen und Alternativen zum t-Test

Der t-Test wird, wie oben ausgeführt, zum Testen von Hypothesen über Erwartungswerte einer oder zweier Stichproben aus normalverteilten Grundgesamtheiten mit unbekannter Standardabweichung verwendet.

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/T-Test“
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