Van-Cittert-Dekonvolution

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Van-Cittert-Dekonvolution (benannt nach Pieter Hendrik van Cittert) ist ein Verfahren, um die Faltung eines Bildes g mit einer Filtermaske (PSF) h rückgängig zu machen (Dekonvolution/inverse Filterung). Sie kann zur Verbesserung der Bildqualität benutzt werden, wenn das Bild zum Beispiel durch ein unscharfes Objektiv o. ä. „verwaschen“ wurde. Das Bild g stellt das ideale Bild dar, das man als Ergebnis des Verfahrens erhalten möchte. Das verwaschene Bild f, das den Ausgangspunkt des Verfahrens darstellt, wird beschrieben durch:

f=\mathcal{H}\ g=g * h

Hier entspricht \mathcal{H} dem Filteroperator, der durch Faltung mit h dargestellt wird. Ziel ist es, folgenden Ausdruck berechnen:

g=\mathcal{H}^{-1}\ f

Die Van Cittert Deconvolution approximiert diesen durch eine iterative Formel:

g_0=f\,
g_{k+1}=f+(\mathcal{I}-\mathcal{H})g_k=f+(I-h) * g_k

Dabei ist \mathcal{I} ein Operator, dessen Punktantwort I einem Delta-Puls entspricht (überall 0, nur in der Mitte 1). Die Operation \mathcal{I}g_k ergibt also gerade g_k. Die Stärke der Rückfaltung hängt von der Anzahl der Iterationsschritte k ab. Je mehr Iterationsschritte durchgeführt werden, desto stärker ist die Rückfaltung (Schärfung). Dafür wird das Bildrauschen bei zu großer Anzahl an Iterationen verstärkt und somit das Bild wieder undeutlich.

Beispiel[Bearbeiten]

Die folgenden Bilder zeigen die Anwendung der Van-Cittert-Iteration auf ein weichgezeichnetes Bild (3×3-Gauß-Filter):

Van-Cittert-Iteration

Herleitung[Bearbeiten]

Im Fourierraum wird die Faltung zu einer punktweisen Multiplikation, sodass gilt:

\hat g=\hat f\cdot\hat h^{-1}=\frac{\hat f}{\hat h}

Dies lässt sich leicht berechnen, wenn die Übertragungsfunktion \hat h keine Nullstellen enthält, da sonst eine Division durch 0 nötig wäre. Um dieses Problem zu umgehen führt man \hat h'=1-\hat h ein. Damit gilt dann:

\hat g=\frac{\hat f}{\hat h}=\frac{\hat f}{1-\hat h'}\approx (1+\hat h'+\hat h'^2+\hat h'^3+ \ldots)\cdot \hat f

Im letzten Schritt wurde eine Taylor-Entwicklung durchgeführt. Dabei wird der Term (1-\hat h')^{-1} um die invariante Abbildung \hat h=1, bzw. \hat h'=0 entwickelt. Im Ortsraum ergibt dieser Ausdruck:

g=\mathcal{H}^{-1}f\approx (\mathcal{I}+\mathcal{H}'+\mathcal{H}'^2+\mathcal{H}'^3+ \ldots)f    mit \mathcal{H}'=\mathcal{I}-\mathcal{H}.

Unter Ausnutzung des Horner-Schemas für dieses Polynom erhält man obige Iterationsvorschrift:

g_0=f
g_{k+1}=f+(\mathcal{I}-\mathcal{H})g_k=f+(I-h) * g_k

Literatur[Bearbeiten]

  • Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. 6.Auflage, Springer, 2005, ISBN 3540249990.