Van Cittert deconvolution

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Die Van Cittert deconvolution ist ein Verfahren, um die Faltung eines Bildes g mit einer Filtermaske (PSF) h rückgängig zu machen (Dekonvolution/inverse Filterung). Sie kann damit zur Verbesserung der Bildqualität benutzt werden, wenn das Bild z.B. durch ein unscharfes Objektiv oä. "verwaschen" wurde. Das Bild g stellt das ideale Bild dar, das man gerne als Ergebnis des Verfahrens erhalten möchte. Das verwaschene Bild f, das den Ausgangspunkt des Verfahrens darstellt ist:

$f=\mathcal{H}\ g=g * h$

Dabei bedeutet $\mathcal{H}$ den Filteroperator, der durch Faltung mit h dargestellt wird. Man möchte gerne folgenden Ausdruck berechnen:

$g=\mathcal{H}^{-1}\ f$

Die Van Cittert Deconvolution besteht aus folgender iterativer Formel:

$g_0=f\,$

$g_{k+1}=f+(\mathcal{I}-\mathcal{H})g_k=f+(I-h) * g_k$

Dabei ist $\mathcal{I}$ ein Operator, dessen Punktantwort I einem Delta-Puls entspricht (überall 0, nur in der Mitte 1). Die Stärke der Rückfaltung hängt von der Anzahl der Iterationsschritte k ab. Je mehr Iterationsschritte durchgeführt werden, desto stärker ist die Rückfaltung (Schärfung). Dafür wird das Bildrauschen bei zu großer Anzahl an Iterationen verstärkt und das Bild wird wieder undeutlich.

[Bearbeiten] Beispiel

Die folgenden Bilder zeigen die Anwendung der Van Cittert Iteration auf ein weichgezeichnetes Bild (3x3-Gauß-Filter):

[Bearbeiten] Herleitung

Im Fourierraum wird die Faltung zu einer punktweise Multiplikation, sodass gilt:

$\hat g=\hat f\cdot\hat h^{-1}=\frac{\hat f}{\hat h}$

Dies lässt sich leicht berechnen, wenn die Transferfunktion $\hat h$ keine Nullstellen enthält, da sonst eine Division durch 0 nötig wäre. Um dieses Problem zu umgehen führt man $\hat h'=1-\hat h$ ein. Damit gilt dann:

$\hat g=\frac{\hat f}{\hat h}=\frac{\hat f}{1-\hat h'}\approx (1+\hat h'+\hat h'^2+\hat h'^3+...)\cdot \hat f$

Im letzten Schritt wurde eine Taylor-Entwicklung durchgeführt. Im Ortsraum ergibt dieser Ausdruck:

$g=\mathcal{H}^{-1}f\approx (\mathcal{I}+\mathcal{H}'+\mathcal{H}'^2+\mathcal{H}'^3+...)f$ mit $\mathcal{H}'=\mathcal{I}-\mathcal{H}$ .

Unter Ausnutzung des Horner-Schemas für dieses Polynom erhält man obige Iterationsvorschrift:

g 0 = f

$g_{k+1}=f+(\mathcal{I}-\mathcal{H})g_k=f+(I-h) * g_k$

[Bearbeiten] Literatur

Bernd Jähne: Digitale Bildverarbeitung. Springer Verlag, Mai 2005 6.Auflage ISBN 3540249990

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