Waist of the sphere theorem

In der Mathematik ist das sogenannte waist of the sphere theorem (deutsch etwa „Satz über die Taille der Sphäre“), auch waist inequality genannt, eine Ungleichung der euklidischen Geometrie. Sie wurde von dem russisch-französischen Mathematiker Michail Leonidowitsch Gromow bewiesen.

Ungleichung

Sei $S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$ die Einheitssphäre und

$f:S^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{q}$

eine stetige Abbildung, $q\leq n$.

Dann gibt es mindestens ein $y\in \mathbb {R} ^{q}$ mit

$\mathrm {vol} (U_{\varepsilon }(f^{-1}(y)))\geq \mathrm {vol} (U_{\varepsilon }(S^{n-q}))\ {\text{für alle}}\ \varepsilon >0$.

Hierbei bezeichnet $U_{\varepsilon }$ die $\varepsilon$-Umgebung und $S^{n-q}\subset S^{n}$ den $(n-q)$-dimensionalen Äquator.

Kombinatorische Version

Zu jeder stetigen Abbildung $F\colon \Delta ^{N-1}\to \mathbb {R} ^{q}$ eines $(N-1)$-Simplex in den $\mathbb {R} ^{q}$ gibt es ein $y\in \mathbb {R} ^{q}$ mit

$\mid F^{-1}(y)\mid \geq c(q){\dbinom {N}{q+1}}$

für eine nur von $q$ abhängende Konstante $c(q)$.

Insbesondere gibt es zu je $N$ Punkten im $\mathbb {R} ^{q}$ einen Punkt $y\in \mathbb {R} ^{q}$, der in mindestens $c(q){\tbinom {N}{q+1}}$ der ${\tbinom {N}{q+1}}$ von diesen $N$ Punkten aufgespannten $q$-Simplizes liegt. (Das ist eine auf Bárány zurückgehende Verallgemeinerung eines Satzes von Carathéodory.)

Geschichte

Die Ungleichung unter gewissen Regularitätsvoraussetzungen an die Abbildung $f$ lässt sich mit den 1965 von Almgren entwickelten Methoden der geometrischen Maßtheorie beweisen, wurde von Almgren selbst aber nicht in dieser Form erwähnt. Gromov gab zunächst 1983 einen kurzen geometrischen Beweis für die Existenz einer nicht-expliziten unteren Schranke von $\sup _{y\in \mathbb {R} ^{q}}{\mathcal {H}}^{n-q}(f^{-1}(y))$ und schließlich 2003 einen Beweis der Ungleichung in obiger Form mittels algebraischer Topologie. Ein detaillierter Beweis wurde 2011 von Memarian veröffentlicht.

Literatur

• Misha Gromov: Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces. Based on the 1981 French original. With appendices by M. Katz, P. Pansu and S. Semmes. Translated from the French by Sean Michael Bates. Reprint of the 2001 English edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2007 (Section 2.12 ½)

Weblinks

• Larry Guth: The waist inequality in Gromov's work pdf (erscheint in: The Abel Prize 2008-2012, Springer Verlag 2014, ISBN 978-3-642-39448-5)
• Parker Glynn-Addey: Of waists and spheres