Ungleichung

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Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können. Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen < (Kleinerzeichen), ≤ (Kleinergleichzeichen), ≥ (Größergleichzeichen) oder > (Größerzeichen) verbunden sind.

Sind T_1 und T_2 zwei Terme, dann ist beispielsweise T_1 < T_2 eine Ungleichung. Man spricht „T_1 kleiner (als) T_2“. Wie bei einer Gleichung heißt T_1 die linke Seite und {T_2} die rechte Seite der Ungleichung.[1]

Die in den beiden Termen auftretenden Werte sind meist reelle Zahlen. Die durch das Vergleichszeichen angesprochene Ordnungsrelation bezieht sich dann auf die natürliche Anordnung der reellen Zahlen.

Formen von Ungleichungen[Bearbeiten]

Folgende fünf Formen von Ungleichungen sind möglich:

(1) {T_1} < {T_2} ({T_1} kleiner  {T_2} )
(2) {T_1} \le {T_2} ({T_1} kleiner oder gleich  {T_2} )
(3) {T_1} >  {T_2} ({T_1} größer  {T_2} )
(4) {T_1} \ge {T_2} ({T_1} größer oder gleich  {T_2} )
(5) {T_1} \neq  {T_2} ({T_1} ungleich  {T_2} )

Die Form (5) entsteht durch Negation einer Gleichung. Sie wird daher in der Mathematik in der Regel nicht eigens thematisiert.

Ungleichungen sind Aussageformen. Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme beinhalten in der Regel Variablen, welche stellvertretend für Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen. Werden diese Variablen durch feste Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche ersetzt (Einsetzen), so entstehen Aussagen, welche entweder wahr oder falsch sind.

Umformung von Ungleichungen[Bearbeiten]

Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich diese in äquivalente Ungleichungen umzuformen. Äquivalente Ungleichungen haben die gleichen Lösungsmengen, daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Lösen von Ungleichungen, worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird.[2] Die folgenden Gesetze werden für die Vergleichszeichen < und > dargestellt, sie gelten ganz analog auch für die Vergleichszeichen ≤ , ≥ und ≠.

Umkehrbarkeit[Bearbeiten]

Ungleichungen können umgekehrt werden:

({T_1}\le{}{T_2})\Leftrightarrow ({T_2}\ge{}{T_1})\,.

Monotoniegesetze[Bearbeiten]

Addition und Subtraktion[Bearbeiten]

Invarianz der Kleiner-Relation bei der Addition mit einer Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung

Für beliebige Terme T_1, T_2 und T_3 gilt:

  • Es ist T_1<T_2 genau dann, wenn T_1+T_3<T_2+T_3.
  • Es ist T_1<T_2 genau dann, wenn T_1-T_3<T_2-T_3.

Es dürfen also auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleichen Terme addiert oder subtrahiert werden, ohne dass sich die Lösungsmenge der Ungleichung ändert. Beispielsweise vereinfacht sich die Ungleichung 5x < 4x + 7 durch Subtraktion des Terms 4x auf beiden Seiten zu der äquivalenten Ungleichung x < 7.

Multiplikation und Division[Bearbeiten]

Die Regel a > 0 \and x < y \Rightarrow ax < ay
Die Regel a < 0 \and x < y \Rightarrow ax > ay

Für beliebige Terme T_1, T_2 und T_3 gilt:

  • Aus T_1<T_2 folgt -T_1 > -T_2.
  • Aus 0<T_1<T_2 folgt 0 < 1/T_2 < 1/T_1 .
  • Aus T_3 > 0 und T_1<T_2 folgt T_1 T_3 < T_2 T_3 und T_1/T_3 < T_2/T_3.
  • Aus T_3 < 0 und T_1<T_2, dann ist T_1 T_3 > T_2 T_3 und T_1 / T_3 > T_2/T_3.

Hier gilt demnach folgende Merkregel:

Bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl > 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl < 0 umkehren.

So sind zum Beispiel die Ungleichungen -3x < 12 und x > -4 äquivalent, wie man mit Hilfe von Division durch -3 sieht.

Anwenden einer Funktion[Bearbeiten]

Durch Anwenden einer streng monotonen Funktion auf beiden Seiten der Ungleichung erhält man eine Ungleichung mit der gleichen Lösungsmenge wie die Ausgangsungleichung. Ähnlich wie bei den Monotoniegesetzen muss unter Umständen das Vergleichszeichen gedreht werden. Wendet man auf beiden eine streng monoton wachsende Funktion an, so ändert sich das Vergleichszeichen nicht. Wendet man hingegen eine streng monoton fallende Funktion an, so muss das Zeichen < durch das entsprechend umgekehrte Zeichen > ersetzt werden. Analoges gilt auch für die Vergleichszeichen ≤ und ≥.

Der natürliche Logarithmus \ln und die Wurzelfunktion \sqrt{\,} sind streng monoton wachsende Funktionen und können daher zum Umformen von Gleichungen verwendet werden. Seien T_1, T_2 zwei Terme dann ist

0 < T_1 < T_2 \Leftrightarrow \ln(T_1) < \ln(T_2) \Leftrightarrow \sqrt{T_1} < \sqrt{T_2}\,.

Lösen von Ungleichungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Lösen von Ungleichungen

Eine Frage beim Umgang mit Ungleichungen ist - ähnlich wie bei der Lösung von Gleichungen - die Frage nach der Lösungsmenge der Ungleichung. Hier ist die Frage zu beantworten, ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern. Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form.

Bekannte Ungleichungen[Bearbeiten]

In allen mathematischen Teilgebieten gibt es Sätze zur Gültigkeit von Ungleichungen. Das heißt, gewisse mathematische Aussagen sichern unter bestimmten Umständen die Richtigkeit einer vorgegebenen Ungleichung für eine gewisse Definitionsmenge. Im Folgenden werden einige wichtige Ungleichungen kurz erwähnt.

Dreiecksungleichung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Dreiecksungleichung

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite c. Das heißt formal c \leq a + b.

Diese Ungleichung kann für viele mathematische Objekte verallgemeinert werden. Beispielsweise ist die Ungleichung

|a+b| \le |a|+|b|

für die Betragsfunktion eine Verallgemeinerung der zuvor genannten Ungleichung und gilt für alle reellen Zahlen. Sie trägt ebenfalls den Namen Dreiecksungleichung. Diese Ungleichung kann auch für Betrag komplexer Zahlen oder für Integrale verallgemeinert werden (siehe Minkowski-Ungleichung).

Cauchy-Schwarz-Ungleichung[Bearbeiten]

Sei V Prähilbertraum also ein Vektorraum mit Skalarprodukt \langle \cdot,\cdot \rangle und seien x und y Elemente aus V, dann gilt immer die Ungleichung

|\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x, x\rangle \cdot \langle y,y\rangle \,.

Gleichheit gilt genau dann, wenn x und y linear abhängig sind. Vektorräume mit Skalarprodukt treten in vielen mathematischen Teilgebieten auf. Daher ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auch in vielen Teildisziplinen der Mathematik von Bedeutung, beispielsweise wird sie in der linearen Algebra, der Integrationstheorie und in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet.

Weitere Ungleichungen[Bearbeiten]

Erweiterung des Begriffes[Bearbeiten]

Bis jetzt wurden in diesem Artikel nur Ungleichungen betrachtet, deren Terme Werte in den reellen Zahlen annehmen. Der Ungleichungsbegriff wird gelegentlich – jedoch nicht einheitlich – zum Beispiel auf komplexe Zahlen, Vektoren oder Matrizen erweitert. Um Ungleichungen für diese Objekte betrachten zu können, müssen zuerst die vier Vergleichszeichen <, ≤, > und ≥ - im Folgenden auch Relationen genannt - für diese Objekte definiert werden.

Komplexe Zahlen[Bearbeiten]

Die Menge der komplexen Zahlen \mathbb{C} ist zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper, jedoch ist es nicht möglich eine Relation ≤ so zu wählen, dass (\mathbb{C},+,\times,\le) zu einem geordneten Körper wird. Das heißt es ist nicht möglich, dass eine Relation auf (\mathbb{C},+,\times,\le) sowohl das Trichotomie-, das Transitivitäts- und das Monotoniegesetz erfüllt. Jedoch wird manchmal eine Relation, die durch

x < y :\Leftrightarrow \operatorname{Re}(x) < \operatorname{Re}(y) \or \left(\operatorname{Re}(x) = \operatorname{Re}(y) \and \operatorname{Im}(x) < \operatorname{Im}(y)\right)

definiert ist, betrachtet. Hierbei bezeichnen x,y komplexe Zahlen und \operatorname{Re} den Realteil beziehungsweise \operatorname{Im} den Imaginärteil einer komplexen Zahl. Diese Definition der Relation erfüllt das Trichotomie- und das Transitivitätsgesetz.[3]

Spaltenvektoren[Bearbeiten]

Auch für Spaltenvektoren ist es möglich Relationen zu definieren. Seien x,y\in\mathbb{R}^n zwei Spaltenvektoren mit x = (x_1,x_2,\ldots,x_n)^T und y = (y_1,y_2,\ldots,y_n)^T wobei x_i and y_i reelle Zahlen sind. Relationen auf \R^n kann man dann beispielsweise durch

x < y :\Leftrightarrow i=1,\ldots,n:\ x_i < y_i

und durch

x \leq y :\Leftrightarrow i=1,\ldots,n:\ x_i \leq y_i

definieren. Analog kann man auch die Relationen ≥ und > erklären. Hier ist es allerdings nicht möglich, alle Elemente miteinander zu vergleichen. Beispielsweise kann keines der vier Vergleichszeichen ein Verhältnis zwischen den Elementen x := (2,5)^T und y := (3,4)^T beschreiben.

Weitere Beispiele[Bearbeiten]

  • Ist A\in\R^{n \times n}, so definiert man A>0 genau dann, wenn A positiv definit ist. Sind A,B\in\R^{n \times n}, so gilt A>B genau dann, wenn A-B>0. Ähnlich können auch < oder \le,\ge (semidefinit) definiert werden.
  • Sei (E,\|\cdot\|) ein reeller Banachraum und K\subseteq E ein Kegel. Sind x,y\in E, so gilt x\le y genau dann, wenn y-x\in K.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 16. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0131-9.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Guido Walz (Hrsg.): Ungleichung. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3827404398.
  2.  Guido Walz (Hrsg.): Rechnen mit Ungleichungen. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 978-3827404398.
  3. Tobias Hemmert: Komplexe Zahlen: Konstruktion aus den reellen Zahlen, Darstellung und Anwendung in der Physik. 1. Auflage, 2010, ISBN 978-3-656-00717-3, Seite 7.