Wesentlich surjektiver Funktor

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Ein wesentlich surjektiver Funktor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie.

Definition[Bearbeiten]

Ein Funktor F\colon\mathcal{C} \to \mathcal{D} zwischen zwei Kategorien \mathcal{C} und \mathcal{D} heißt wesentlich surjektiv (oder dicht), falls zu jedem Objekt D in \mathcal{D} ein Objekt C in \mathcal{C} existiert, so dass F(C) isomorph ist zu D.[1]

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jede Äquivalenz von Kategorien liefert einen wesentlich surjektiven Funktor, denn ein Funktor ist genau dann eine Äquivalenz, wenn er volltreu und wesentlich surjektiv ist. [2]
  • Umgekehrt lässt sich die wesentliche Surjektivität auch durch Äquivalenz charakterisieren: Ein Funktor F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D} ist genau dann wesentlich surjektiv, wenn die vom Bild der Objekte in \mathcal{C} erzeugte volle Unterkategorie von \mathcal{D} äquivalent zu \mathcal{D} ist.
  • Ist K ein Körper, \mathcal{C} die Kategorie der Vektorräume K^n (im Sinne der n-fachen direkten Summe), n Kardinalzahl, und \mathcal{D} die Kategorie aller K-Vektorräume, so ist die Einbettung \mathcal{C} \to \mathcal{D} wesentlich surjektiv, denn nach Ergebnissen der lineare Algebra ist jeder K-Vektorraum isomorph zu einem K^n.
  • Ist K der Körper der reellen oder der komplexen Zahlen, \mathcal{D} die Kategorie der Hilberträume über K mit den isometrischen Isomorphismen und \mathcal{C} die Kategorie der Mengen mit den bijektiven Abbildungen, so ist nach dem Satz von Fischer-Riesz der Funktor \ell^2\colon \mathcal{C} \to \mathcal D wesentlich surjektiv.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Seite 130
  2. Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie, Spektrum Akademischer Verlag 2009, ISBN 3827420407, Satz 7.5