Zielmenge

Eine Funktion von $A$ nach $B$.

Im Kontext einer mathematischen Funktion $f \colon A \to B$, welche Elemente einer Menge $A$ auf Elemente einer Menge $B$ abbildet, bezeichnet man $B$ als Zielmenge oder Wertevorrat der Funktion.

Häufig wird dafür auch das Wort Wertemenge oder Wertebereich benutzt; diese Wörter bezeichnen aber oft stattdessen die Bildmenge von $f$. Es besteht also Verwechslungsgefahr. Die Zielmenge ist nur der Vorrat für mögliche Werte von $f$ – es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch tatsächlich alle durch $f$ angenommen werden.

Die Menge der Werte, die als Funktionswert von $f$ erscheinen, ist die Bildmenge. Ist die Bildmenge von $f$ gleich der Zielmenge von $f$, so heißt $f$ surjektiv.

Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion. Funktionen mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Funktionsvorschrift, aber verschiedener Zielmenge, können niemals gleich sein.

Beispiel

Die Funktion $f \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ordnet jedem Punkt der euklidischen Ebene seinen Abstand vom Nullpunkt zu. Es gilt also:

$f(a,b) = \sqrt{a^2+b^2}$

Die Zielmenge der Funktion ist $\mathbb{R}$, die Menge der reellen Zahlen. Da der Abstand nie negativ sein kann, werden nicht alle möglichen Werte angenommen. Die Bildmenge besteht genau aus den nichtnegativen reellen Zahlen (oft mit $\mathbb{R}_0^+$ bezeichnet).

Die Funktion $g \colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}_0^+$ mit $g(a,b) := \sqrt{a^2+b^2}$ hat denselben Definitionsbereich, dieselbe Funktionsvorschrift und dieselbe Bildmenge wie $f$. Da aber die Zielmengen verschieden sind, gilt trotzdem $f \ne g$.

Zusammenhang zwischen den Mengen

Anhand der nebenstehenden einfachen Beispielfunktion sollen noch einmal die verschiedenen auftretenden Mengen erklärt werden:

• Die Definitionsmenge ($A$) enthält die Elemente 1, 2, 3, 4.
• Die Zielmenge ($B$) enthält die Elemente a, b, c, d.
• Die Bildmenge besteht aus den Elementen b, c, d. Nur diese drei werden als Funktionswerte verwendet.
• Definitionsbereich ist ein anderes Wort für Definitionsmenge.
• Wertevorrat ist ein anderes Wort für Zielmenge.
• Wertemenge und Wertebereich sind in ihrer Bedeutung nicht eindeutig festgelegt und können die Zielmenge oder auch die Bildmenge bezeichnen.