Bild (Mathematik)

Das Bild dieser Funktion ist
{A, B, D}.

Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild bzw. die Bildmenge oder der Bildbereich einer Teilmenge M des Definitionsbereichs die Menge der Werte aus der Zielmenge Y, die f auf M tatsächlich annimmt.

Häufig werden dafür auch die Wörter Wertemenge oder Wertebereich benutzt, die aber bei anderen Autoren zur Bezeichnung der gesamten Zielmenge Y verwendet werden. Es besteht also Verwechslungsgefahr.

Definition

Für eine Funktion $f\colon X \to Y$ und eine Teilmenge $M$ von $X$ bezeichnet man die folgende Menge als das Bild von M unter f:

$f(M) := \{ f(x) \mid x \in M\}$

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter $f$, also:

$\operatorname{im} f := f(X)$ („im“ vom englischen Wort image)

Alternative Notationen

Für $f(M)$ wird auch die Notation $f[M]$ verwendet.

Die deutsche Bezeichnung $\operatorname{Bild}(f)$ für $\operatorname{im} f$ ist ebenfalls gebräuchlich.

Im Allgemeinen nutzt man die übliche Mengennotation, um die Bildmenge darzustellen, in obigem Beispiel: $\mathrm{Bild}(f) = \{A, B, D\}$.

Beispiele

Wir betrachten die Funktion $f\colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ (ganze Zahlen) mit $f(x)\ := x^2$.

• Hierbei werden verschiedene Eingabegrößen nicht unbedingt auf verschiedene Bildmengen geschickt:

$f(\{ 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\$

$f(\{ -3, -2, -1 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\$

$f(\{ -3, -2, -1, 1, 2, 3 \}) = \{ 1, 4, 9 \}\$

• Insgesamt ist die Menge der Quadratzahlen das Bild der Funktion:

$\operatorname{im}\, f = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, \dotsc \}\$

Eigenschaften

Es sei $f\colon X \to Y$ eine Funktion und $M$ und $N$ seien Teilmengen von $X$:

• $f(\varnothing) = \varnothing$
• $M \subseteq N \Rightarrow f(M) \subseteq f(N)$
• $f$ ist genau dann surjektiv, wenn $\operatorname{im} f = Y$.
• $f(M \cup N) = f(M) \cup f(N)$
• $f(M \cap N) \subseteq f(M) \cap f(N)$
  Ist $f$ injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Siehe auch

• Bild (Kategorientheorie)
• Homomorphiesatz
• Kern (Mathematik)
• Urbild (Mathematik)