Zweitafelprojektion

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Grund- und Aufriss in Zweitafelprojektion

Die Zweitafelprojektion ist eine grundlegende Methode der Darstellenden Geometrie. Dabei wird ein Punkt P des Anschauungsraums mit Hilfe zweier senkrechter Parallelprojektionen auf zwei zueinander senkrechte Ebenen (Bildtafel) \pi_1,\pi_2 projiziert. Üblicherweise ist die Ebene \pi_1 horizontal und heißt Grundrisstafel und \pi_2 vertikal, die Aufrisstafel. Die Schnittgerade k_{12}=\pi_1\cap\pi_2 heißt Risskante. Die entstehenden Bilder P',P'' sind Grundriss bzw. Aufriss von P.

Stellt man sich \pi_1 als x-y-Ebene und \pi_2 als y-z-Ebene vor, die sich in der y-Achse schneiden, so erkennt man, dass in beiden Projektionen (Rissen) P',P'' alle räumlichen Informationen (Koordinaten) des Punktes P enthalten sind.

Solche Risse waren schon den Griechen und Römer bekannt. Allerdings erst eine Idee von Gaspard Monge (siehe Geometrie descriptive, S.10) machte es möglich, die wesentlichen raumgeometrischen Probleme der darstellenden Geometrie relativ einfach zeichnerisch zu lösen. Monge klappte die Aufrisstafel um die Risskante in die Grundrisstafel und benutzte die Grundrisstafel als Zeichenebene. Die zunächst räumliche Zuordnung von P' und P'' geht dabei in die Zuordnung in der Zeichenebene durch einen Ordner (Lot zur Risskante) über. Man sagt, Grundriss und Aufriss P',P'' sind in der Zeichenebene über den zugehörigen Ordner einander zugeordnet.

Grund- und Aufrisse verschiedener Punkte[Bearbeiten]

Zweitafelprojektion: verschiedene Lagen von Punkten

Da die Anschaulichkeit der Lage von Punkten in der Zweitafelprojektion deutlich geringer ist als in einem räumlich wirkenden Bild (Axonometrie), bedarf es einiger Übung, um sich die räumliche Lage eines konkreten Punktes anhand seines Grund- und Aufrisses vorzustellen. Normalerweise erwartet man, dass bei einer Zweitafelprojektion der Grundriss eines Punktes unterhalb und der Aufriss eines Punktes oberhalb der Risskante sich befindet. Wie Beispiele in dem Bild zeigen, muss das nicht der Fall sein. Allerdings ist man immer bemüht, Grund- und Aufriss eines Objektes in der Zweitafelprojektion optisch zu trennen (Grundriss "unten", Aufriss "oben").

Geraden[Bearbeiten]

Zwei-Tafel-Projektion einer Gerade
Zwei-Tafel-Projektion: verschiedene Lagen von Geraden
Zweitafelprojektion einer Gerade: Spurpunkte S_1,S_2

Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutig bestimmt. Also sind ihr Grund- und Aufriss durch die Grund- und Aufrisse zweier Punkte bestimmt.

Höhenlinien, Frontlinien[Bearbeiten]

Es gibt mehrere Sonderlagen von Geraden, die besondere Bezeichnungen erhalten (s. Bild):

  • Eine Höhenlinie ist eine Gerade, die parallel zur Grundrisstafel \pi_1 verläuft.
  • Eine Frontlinie ist eine Gerade, die parallel zur Aufrisstafel \pi_2 verläuft.
  • Eine Hauptgerade ist eine Höhen- oder Frontlinie.
  • Eine Erstprojizierende ist eine Lotgerade zur Grundrisstafel und damit ein Projektionsstrahl für den Grundriss.
  • Eine Zweitprojizierende ist eine Lotgerade zur Aufrisstafel und damit ein Projektionsstrahl für den Aufriss.
  • Eine gelehnte Gerade ist in einer zur Risskante k_{12} senkrechten Ebene \pi_3 enthalten. Gelehnte Geraden sind bei Konstruktionen sehr unangenehm, da sowohl Grund- und Aufriss auf den einzigen Ordner fallen (s. Bild).

Sowohl Höhen- als auch Frontlinien spielen bei der Bestimmung von wahren Längen eine besondere Rolle, denn

  • eine Strecke auf einer Höhenlinie erscheint im Grundriss in wahrer Länge.
  • eine Strecke auf einer Frontlinie erscheint im Aufriss in wahrer Länge.

Hauptlinien spielen auch bei rechten Winkeln eine wichtige Rolle, denn

  • Ein rechter Winkel erscheint im Grundriss (Aufriss) wieder als rechter Winkel, wenn ein Schenkel auf einer Höhenlinie (Frontline) liegt.

Beliebige Winkel erscheinen im Grundriss (Aufriss) in wahrer Größe, wenn beide Schenkel parallel zur Grundrisstafel (Aufrisstafel) liegen. Tafelparallelität kann man entweder durch eine Drehung der Ebene, in der der Winkel liegt, um eine Höhenlinie (Frontlinie) oder durch zwei Umprojektionen (siehe wahre Gestalt) erreichen.

Spurpunkte[Bearbeiten]

Bei Konstruktionen werden oft die Spurpunkte einer Gerade benutzt. Sie sind die Durchstoßpunkte S_1,S_2 der Gerade mit den Risstafeln. Es gilt immer

  • S_1=S_1',S_2=S_2'' und
S_1'', S_2' liegen auf der Risskante (siehe Bild).

Ebenen[Bearbeiten]

Beschreibung einer Ebene, Spurgeraden[Bearbeiten]

Zweitafelprojektion einer Ebene: Spuren, Hauptgeraden
a) Normale n im Punkt P
b) Lot l von Punkt Q auf Ebene (durch s_1,s_2 gegeben)
Zweitafelprojektion: Sonderlagen von Ebenen

Eine Ebene wird in der darstellenden Geometrie in der Regel durch ein Dreieck oder zwei sich schneidende Geraden in Grund- und Aufriss beschrieben. Im zweiten Fall wählt man hierfür möglichst Hauptgeraden (Höhenlinien, Frontlinien) oder Spurgeraden (Schnittgeraden der Ebene mit den Risstafeln, siehe Bild). Auch hier bedarf es einiger Übung, um sich aus den gegebenen Grund- und Aufrissen die Lage der Ebene im Raum vorstellen zu können (siehe Bild).

Für Spurgeraden s_1,s_2 einer Ebene gilt:

  • s_1=s_1',s_2=s_2'' und
s_1'', s_2' fallen mit der Risskante zusammen und werden meistens weggelassen (siehe Bild).

Bei Konstruktionen mit Ebenen sind oft folgende Eigenschaften nützlich:

  • Die Frontlinien einer Ebene sind alle zu einander parallel, insbesondere zur Aufrissspur s_2 (siehe Bild).
  • Die Höhenlinien einer Ebene sind alle zu einander parallel, insbesondere zur Grundrissspur s_1.

Lot auf eine Ebene, Abstand Punkt-Ebene[Bearbeiten]

Da der Riss (senkrechte Parallelprojektion) eines rechten Winkels nur dann wieder ein rechter Winkel ist, wenn ein Schenkel parallel zur Bildtafel ist (siehe Abschnitt über Geraden), gilt (siehe Bild)

  • Der Grundriss eines Lotes auf eine Ebene ist senkrecht zu einer beliebigen Höhenlinie der Ebene.
  • Der Aufriss eines Lotes auf eine Ebene ist senkrecht zu einer beliebigen Frontlinie der Ebene.

Will man den Abstand eines Punktes Q von einer Ebene bestimmen, so muss man das Lot zur Ebene durch Q mit der Ebene schneiden (siehe: Durchstoßpunktkonstruktion). Der Schnittpunkt ist der Lotfußpunkt F. Die wahre Länge der Strecke (Lot) \overline{QF} ist schließlich der gesuchte Abstand des Punktes von der Ebene.

Lotebene, Lot auf eine Gerade, Abstand Punkt-Gerade[Bearbeiten]

Will man das Lot von einem Punkt Q aus auf eine Gerade g (im Raum) fällen, so verwendet man die Ebene \varepsilon durch Q, die senkrecht zu g ist, als Hilfsebene. \varepsilon ist eine Lotebene von g. Es gilt

  • Der Grundriss h_1' der Höhenlinie h_1 von \varepsilon durch Q ist senkrecht zu g'.
(h_1'' ist parallel zur Risskante !)
  • Der Aufriss h_2'' der Frontlinie h_2 von \varepsilon durch Q ist senkrecht zu g''.
(h_2' ist parallel zur Risskante !)

Damit liegt die Ebene \varepsilon durch die Höhen- und Frontlinie im Punkt Q fest. Mit Hilfe der Durchstoßpunktkonstruktion lässt sich dann der Lotfußpunkt F=g\cap \varepsilon bestimmen. Der Abstand des Punktes Q von der Gerade g ist die wahre Länge der Strecke \overline{QF}. Wie man eine wahre Länge bestimmt findet man hier.

Umprojektion, Dreitafelprojektion[Bearbeiten]

Umprojektion eines Punktes (neuer Aufriss)

Die wahre Gestalt einer ebenen Figur, z.B. Dreieck, Polygon, Kreis, ..., tritt nur dann in einem Riss (Grund- oder Aufriss) auf, wenn die Ebene, die die Figur enthält parallel zur zugehörigen Rissebene ist. Dies bedeutet für eine Zweitafelprojektion, dass die ebene Figur im zugeordneten zweiten Riss nur als Strecke auftritt (auf einer Gerade liegt), die parallel zur Risskante ist. Z.B.: ein Dreieck erscheint im Grundriss in wahrer Gestalt (wahre Längen, wahre Winkel), wenn der Aufriss auf einer horizontalen Gerade (Parallele zur Risskante) liegt. Im Allgemeinen wird ein Dreieck (z.B.) sowohl im Grundriss als auch im Aufriss als (verzerrtes) Dreieck erscheinen. Um die wahre Gestalt des Dreiecks in einem geeigneten Riss zu erkennen, führt man zunächst eine neue Aufrisstafel \pi_3 so ein, dass der neue Aufriss des Dreiecks als Strecke erscheint. Diese Strecke wird i.a. noch nicht parallel zur neuen Risskante k_{13} sein. Also muss man eine weitere Risstafel \pi_4 einführen (siehe wahre Gestalt). Es lohnt sich deshalb, die Technik Einführung einer neuen Risstafel, kurz Umprojektion, zu kennen.

Einführung eines neuen Aufrisses[Bearbeiten]

Gegeben: Ein Punkt P in Grund- und Aufriss (P',P'', Risskante k_{12}) und eine neue Aufrisstafel \pi_3 durch die Risskante k_{13}.
Gesucht: Der neue Aufriss P'''.
P' und P''' sind also über einen Ordner (Lot zu k_{13}) einander zugeordnet. (P',P''' sind nicht einander zugeordnet !)

Aus dem Bild ist zu erkennen

  • P''' liegt auf dem Ordner (Lot zu k_{13} durch P') im gleichen Abstand von k_{13} wie der alte Aufriss P'' von der alten Risskante k_{12} (siehe Bild).

Umprojektionen lassen sich auch dazu benutzen, um eine anschauliche orthogonale Axonometrie herzustellen. Dabei muss man allerdings meistens zwei Umprojektionen vornehmen (siehe weblink).

Kreuzriss und Dreitafelprojektion

Kreuzriss, Dreitafelprojektion[Bearbeiten]

Hauptartikel: Dreitafelprojektion

Ist die neue Risstafel zur Grundrisstafel und zur Aufrisstafel senkrecht, d. h. k_{23}\perp k_{12}, nennt man den neuen Aufriss Kreuzriss (s. Bild) und ordnet ihn direkt dem bestehenden Aufriss zu. Eine Zuordnung des neues Risses zum Grundriss erhält man durch konzentrische Kreisbögen als Ordner (siehe Bild). Damit kann man jetzt Informationen aus irgendeinem Riss über die entsprechenden Ordner in die anderen beiden Risse übertragen. Solch eine Anordnung nennt man Dreitafelprojektion.

Siehe auch[Bearbeiten]

Eintafelprojektion

Literatur[Bearbeiten]

  • Fucke, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig, 1998, ISBN 3-446-00778-4, S.10
  • Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart, 2005, ISBN,3-17-018489-X, S.40
  • Ulrich Graf, Martin Barner : Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S.59

Weblinks[Bearbeiten]