Zweitafelprojektion

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Eine Zweitafelprojektion ist eine Normalprojektion der Darstellenden Geometrie, um mit Hilfe von zwei zugeordneten senkrechten Parallelprojektionen (Risse) raumgeometrische Probleme, z.B. Schnitt einer Gerade mit einer Ebene, zeichnerisch zu lösen.

Grund- und Aufriss[Bearbeiten]

Grund- und Aufriss in Zwei-Tafel-Projektion
Zwei-Tafel-Projektion: verschiedene Lagen von Punkten
Zwei-Tafel-Projektion einer Gerade
Zwei-Tafel-Projektion: verschiedene Lagen von Geraden
Umprojektion eines Punktes (neuer Aufriss)
Kreuzriss und Dreitafelprojektion

In der Darstellenden Geometrie verwendet man die Parallelprojektion, also die Projektion eines räumlichen Objektes mit Hilfe paralleler Strahlen auf eine Ebene (Tafel), um ein Objekt in einer Zeichenebene darzustellen. Möchte man nur einen räumlichen Eindruck vermitteln, so genügen die einfacher zu erzeugenden Axonometrien. Sie sind in der Regel schiefe Parallelprojektionen, d. h. die Projektionstrahlen stehen nicht senkrecht auf der Bildebene. Will man geometrische Probleme zeichnerisch lösen, z. B. den Schnitt einer Gerade mit einer Ebene, so muss man wenigstens zwei geeignete Parallelprojektionen verwenden, die die vollen räumlichen Informationen enthalten. Am besten geeignet sind hierfür senkrechte Parallelprojektionen auf eine horizontale Ebene \pi_1 (Grundriss-Tafel), die die x-y-Koordinaten unverzerrt enthalten, und eine senkrecht stehende Ebene, z. B. eine Ebene \pi_2 parallel zur y-z-Ebene (Aufriss-Tafel), die die z-Koordinaten unverzerrt enthält. Den Grundriss eines Punktes P bezeichnet man mit P', den Aufriss mit P''. Um es nur mit einer Zeichenebene zu tun zu haben, klappt man die Aufrissebene in die Grundrissebene (s. Bild). Die Drehachse (Schnittgerade zwischen \pi_1 und \pi_2) bezeichnet man als Risskante (oder Rissachse) k_{12}. Grund- und Aufriss P' und P'' sind in der Zeichenebene über das gemeinsame Lot (Ordner) zur Risskante einander zugeordnet. Die Zeichenebene enthält jetzt alle räumlichen Informationen des Punktes P. Auf diese Weise zugeordnete Risse (also senkrechte Parallelprojektionen) nennt man eine Zweitafelprojektion. Um aus einer Zweitafelprojektion schnell die richtige räumliche Vorstellung abzuleiten, bedarf es etwas Übung. Im zweiten Bild sind einige weitere Beispielpunkte und ihre zugeordneten Grund- und Aufrisse angegeben. Der Aufriss eines Punktes (z. B. D'') kann durchaus in dem Bereich liegen, wo man eigentlich nur Grundrisse erwartet. Der Aufriss eines Punktes in der Grundrisstafel (z. B. B) liegt auf der Risskante.

Gerade, wahre Längen, wahre Winkel[Bearbeiten]

Eine Gerade ist durch zwei Punkte bestimmt. Also sind ihr Grund- und Aufriss durch die Grund- und Aufrisse zweier Punkte bestimmt. Das vierte Bild zeigt verschiedene Sonderlagen von Geraden und ihre Darstellungen in der Zweitafelprojektion. Für geometrische Konstruktionen wichtig sind Geraden, die parallel zu einer der Risstafeln sind. Eine Gerade parallel zur Grundrisstafel nennt man Höhenlinie, eine Gerade parallel zur Aufrisstafel heißt Frontlinie. Eine Hauptgerade ist eine von diesen beiden. Höhen- und Frontlinien spielen eine wichtige Rolle, da eine horizontale Strecke (Höhenlinie) im Grundriss und eine zur Aufrisstafel parallele Strecke (Frontlinie) im Aufriss unverzerrt (wahre Länge) erscheinen. Eine Gerade, die senkrecht zur Grundrisstafel (Aufrisstafel) steht, heißt Erst-Projizierende (Zweit-Projizierende). Winkel erscheinen im Grundriss (Aufriss) unverzerrt (wahre Winkel), wenn beide Schenkel parallel zur Grundrisstafel (Aufrisstafel) liegen. Für einen rechten Winkel genügt es, wenn einer der Schenkel diese Bedingung erfüllt.

Ebene[Bearbeiten]

Eine Ebene wird in der Regel durch zwei sich schneidende Geraden in Grund- und Aufriss beschrieben. Meistens wählt man hierfür Hauptgeraden oder Spurgeraden (Schnittgeraden der Ebene mit den Risstafeln). (Siehe Weblink unten.)

Umprojektion[Bearbeiten]

Wahre Längen von Strecken treten im Aufriss nur dann auf, wenn die Strecken parallel zur Aufrisstafel sind. Um die wahre Länge für eine anders orientierten Strecke zu bestimmen, führt man oft eine neue zur Strecke parallele Aufrisstafel \pi_3 ein. Diese legt man durch die Einführung einer neuen Risskante k_{13} fest. Der neue Aufriss P''' eines Punktes P liegt dann auf dem neuen Ordner (Lot zu k_{13}) im Abstand des alten Aufrisses P'' von der alten Risskante k_{12}. Die Einführung einer neuen Risstafel nennt man Umprojektion.

Umprojektionen werden insbesondere bei der Bestimmung der wahren Gestalt einer ebenen Figur benutzt.

Will man durch Umprojektion ein anschauliches Bild von einem Objekt herstellen, muss man meistens zwei Umprojektionen mit einer geeigneten Wahl der neuen Risskanten vornehmen. (Siehe Weblink unten).

Kreuzriss, Dreitafelprojektion[Bearbeiten]

Hauptartikel: Dreitafelprojektion

Ist die neue Risstafel zur Grundrisstafel und zur Aufrisstafel senkrecht, d. h. k_{23}\perp k_{12}, nennt man den neuen Aufriss Kreuzriss (s. Bild). Im Bild ist der neue Riss zunächst nur dem alten Aufriss über Ordner zugeordnet. Eine direkte Zuordnung des neues Risses zum Grundriss erhält man durch konzentrische Kreisbögen als Ordner (siehe Bild). Damit kann man jetzt Informationen aus irgendeinem Riss über die entsprechenden Ordner in die anderen beiden Risse übertragen. Solch eine Anordnung nennt man auch Dreitafelprojektion.

Siehe auch[Bearbeiten]

Eintafelprojektion

Quellen[Bearbeiten]

  • Fucke, Kirch, Nickel: Darstellende Geometrie. Fachbuch-Verlag, Leipzig, 1998, ISBN 3-446-00778-4
  • Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart, 2005, ISBN 3-17-018489-X

Weblinks[Bearbeiten]