6j-Symbol

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Das 6j-Symbol von Eugene Wigner spielte eine Rolle bei der Kopplung von drei Drehimpulsen in der Quantenmechanik.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist folgendermaßen als Summe über Produkte von vier 3j-Symbolen definiert:

Dabei ist zu beachten, dass nicht alle nichtverschwindende Beiträge leisten (Auswahlregeln der 3j-Symbole, siehe dort).

Symmetrien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das 6j-Symbol ist invariant unter Vertauschung seiner Spalten:

Es ist auch invariant bei Vertauschung der Symbole in der unteren mit der der oberen Reihe:

Insgesamt gibt es 24 Symmetrien.

Das 6j-Symbol

verschwindet außer erfüllen die Dreiecksbedingung:

Wegen der oben erläuterten Symmetrien müssen auch , , die Dreiecksbedingung erfüllen. Außerdem muss die Summe aller Elemente dieser Dreiertupel eine ganze Zahl sein.

Spezialfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gilt folgende Formel für das 6j-Symbol:

Das trianguläre Delta ist gleich 1 falls die Dreiecksbedingung erfüllen und 0 sonst.

Orthogonalitätsrelation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die 6j-Symbole erfüllen die Orthogonalitätsrelation:

Asymptotische Entwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls alle im 6j-Symbol groß sind ist:

Die Formel wurde von Tullio Regge und G. Ponzano[1] vermutet und wurde von Justin Roberts bewiesen.[2] und nutzt die sich asymptotisch ergebende Tetraeder-Geometrie aus. Dabei ist V das Volumen des Tetraeders, die Länge der Seite und der Winkel der Seiten, die an die i-te Kante stoßen.

Zusammenhang mit Racah-W-Koeffizienten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sie sind mit den Racah-W-Koeffizienten verbunden, die ebenfalls zur Kopplung von drei Drehimpulsen verwendet werden:

Die Racah-W-Koeffizienten sind Koeffizienten:

beim Übergang von einer Basis, in der und zu gekoppelt sind und dieses dann mit zum Gesamtdrehimpuls und einer Basis, in der zuerst und zu gekoppelt sind und dieses dann mit zu :

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alan Robert Edmonds: Drehimpulse in der Quantenmechanik, BI Hochschultaschenbücher 1964 (englisches Original Princeton UP 1957)
  • A. Messiah: Quantenmechanik, Band 2, De Gruyter 1985, Anhang C

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ponzano, Regge: Semiclassical Limit of Racah Coefficients, in: Spectroscopy and Group Theoretical Methods in Physics, Amsterdam, 1968, S. 1–58
  2. J. Roberts: Classical 6j-symbols and the tetrahedron, Geometry and Topology, Band 3, 1998, S. 21–66, Arxiv