Abbildungstorus

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In der Mathematik sind Abbildungstori topologische Räume, mit denen topologische Abbildungen beschrieben werden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Möbiusband ist der Abbildungstorus der durch definierten Abbildung .
Die Kleinsche Flasche ist ein nichttriviales Bündel über S1 mit Faser S1 und Monodromie .

Sei ein topologischer Raum und ein Homöomorphismus. Der Abbildungstorus von f ist definiert als Quotient

von bzgl. der Äquivalenzrelation für alle .

Faserbündel über dem Kreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Kreis kann als Quotientenraum mit aufgefasst werden, damit definiert die Projektion auf den ersten Faktor ein Faserbündel

.

Umgekehrt ist jedes Faserbündel über dem Kreis als Abbildungstorus eines Homöomorphismus darstellbar. Die Abbildung wird als Monodromie des Faserbündels bezeichnet.

Abbildungstori in der 3-dimensionalen Topologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abbildungstori spielen eine wichtige Rolle in Thurstons Zugang zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Homöomorphismen kompakter Flächen fallen in eine von drei Kategorien: periodisch, reduzibel oder pseudo-Anosov. Thurston hat bewiesen, dass ein 3-dimensionaler Abbildungstorus genau dann hyperbolisch ist, wenn die Monodromie pseudo-Anosov ist.[1]

Ian Agol hat 2012 gezeigt, dass jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung besitzt, die sich als Abbildungstorus darstellen lässt. [2]

Gruppentheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Gruppentheorie definiert man Abbildungstori für Endomorphismen freier Gruppen. Sei die von einer Menge erzeugte freie Gruppe und ein Endomorphismus. Dann ist der Abbildungstorus definiert durch die Präsentierung

.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hyperbolic Structures on 3-manifolds, II: Surface groups and 3-manifolds which fiber over the circle
  2. The virtual Haken conjecture Documenta Math. 18 (2013) 1045--1087