Algebraisch konjugiert

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Algebraisch konjugiert nennt man Elemente eines Körpers, wenn sei bezüglich eines Unterkörpers dasselbe Minimalpolynom haben.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien eine Körpererweiterung und der Polynomring zu mit der Unbestimmten . Die Elemente seien algebraisch über , das heißt, es existieren mit .

Dann heißen und algebraisch konjugiert über , wenn und dasselbe Minimalpolynom über haben.

Ist der Zusammenhang klar, spricht man auch kürzer nur von „konjugiert“.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • und sind genau dann konjugiert über dem Körper , wenn für alle gilt, dass .
  • Sei eine endliche Körpererweiterung mit für ein . Dann sind genau dann konjugiert über dem Körper , wenn es ein Element in der Galoisgruppe gibt mit .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die komplexen Zahlen und haben über beide das Minimalpolynom und sind daher algebraisch konjugiert über . Über haben sie natürlich die Minimalpolynome bzw. und sind nicht konjugiert.
  • Allgemeiner gilt: Zwei komplexe Zahlen und mit sind genau dann algebraisch konjugiert über , wenn sie durch komplexe Konjugation auseinander hervorgehen, also gilt. Das gemeinsame Minimalpolynom ist in diesem Fall .
  • Die Goldene Zahl und ihr negativer Kehrwert sind konjugiert über dem Körper . Sie sind Lösungen des Minimalpolynoms .