Goldener Schnitt

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Proportionen beim Goldenen Schnitt einer Strecke:   \Phi=\frac{a }{ b} = \frac{a + b}{ a}

Als Goldenen Schnitt (lateinisch: sectio aurea, proportio divina) bezeichnet man das Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderen Größe, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil (auch Major genannt) dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil (dem Minor) entspricht. Als Formel ausgedrückt (mit a als Major und b als Minor) gilt:

 \frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} \,.

Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Diese wird ebenfalls als Goldener Schnitt oder auch als Goldene Zahl bezeichnet. Als mathematisches Symbol für diese Zahl wird meist der griechische Buchstabe Phi (Φ, φ), seltener auch Tau (Τ, τ) oder einfach g, verwendet:

 \Phi=\frac{a }{ b} = \frac{a + b}{ a}\,.

Die Kenntnis des Goldenen Schnittes ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen. Vereinzelt schon im Spätmittelalter (Campanus von Novara) und besonders dann in der Renaissance (Luca Pacioli, Johannes Kepler) wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Seit dem 19. Jahrhundert wurde er zunächst in der ästhetischen Theorie (Adolf Zeising) und dann auch in künstlerischer, architektonischer und kunsthandwerklicher Praxis als ein ideales Prinzip ästhetischer Proportionierung bewertet. Die wahrnehmungspsychologische Frage der Nachweisbarkeit einer derart besonderen ästhetischen Wirkung ist in der Forschung allerdings umstritten, desgleichen die historische Frage, ob der Goldene Schnitt auch schon bei der Proportionierung von Kunst- und Bauwerken älterer Epochen eine Rolle gespielt hat.

Definition und elementare Eigenschaften[Bearbeiten]

Beide Rechtecke sind Goldene (animierte Darstellung)

Eine Strecke AB der Länge s wird durch einen Punkt T innen so geteilt, dass die Länge a des größeren Teilabschnittes AT mittlere Proportionale zwischen den Längen b der kleineren und der gesamten Strecke wird. Es gilt somit AB : AT = AT : TB. Diese so entstandene Teilung heißt Goldener Schnitt der Strecke AB. Das Verhältnis der beiden Streckenabschnitte AT : TB wird als Goldene Zahl bezeichnet.[1]

Eine einfache Rechnung zeigt:

\Phi=\frac{a}{b} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618 .

Wird eine Strecke s im Goldenen Schnitt geteilt, so gilt für den längeren Abschnitt

a=\frac{s}{\Phi} \approx 0{,}618 s

und für den kürzeren

b=s-\frac{s}{\Phi} \approx 0{,}382 s .

Die Goldene Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt, sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch eine algebraische Zahl vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Ferner ist sie besonders schlecht durch Brüche approximierbar.[* 1] Aus diesem Grund wird sie in der Literatur gelegentlich auch als irrationalste Zahl bezeichnet.[2] Diese Eigenschaft wird im Abschnitt Approximationseigenschaften der Goldenen Zahl genauer erläutert.

Geometrische Aussagen[Bearbeiten]

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal[Bearbeiten]

Als Konstruktionsverfahren werden nach den Postulaten des Euklid nur diejenigen Verfahren akzeptiert, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Skala) beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren, von denen im Folgenden exemplarisch nur einige erwähnt werden. Man unterscheidet dabei eine innere und äußere Teilung. Bei der äußeren Teilung wird der in der Verlängerung der Ausgangsstrecke außen liegende Punkt gesucht, der die vorhandene Strecke zum (größeren) Teil des Goldenen Schnittes macht. Aufgeführt werden im folgenden auch zwei moderne, von Künstlern gefundene Konstruktionen.

Innere Teilung[Bearbeiten]

Klassische innere Teilung
Klassisches Verfahren mit innerer Teilung, das wegen seiner Einfachheit beliebt ist:
  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verbindung AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Innere Teilung: Verfahren nach Euklid Innere Teilung nach Euklid:
  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Konstruktion nach Hofstetter Konstruktion nach dem österreichischen Künstler Kurt Hofstetter, die dieser 2005 im Forum Geometricorum[3] publizierte:
  1. Halbiere die Strecke AB in M durch Streckensymmetrale mit Radius AB und konstruiere dabei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge AB und C unterhalb von AB.
  2. Konstruiere ein gleichschenkeliges Dreieck MBD mit Schenkellänge AB über der Grundlinie MB
  3. Die Strecke CD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Äußere Teilung[Bearbeiten]

Äußere Teilung Klassisches Verfahren mit äußerer Teilung:
  1. Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C.
  2. Konstruiere die Mitte M der Strecke AS.
  3. Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Konstruktion nach Odom Konstruktion nach dem amerikanischen Künstler George Odom, die dieser 1982 entdeckte:
  1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
  2. Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft.
  3. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S.
  4. Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Beginnt man mit der Strecke AS, so konstruiert man über der halben Strecke das in S rechtwinklige Dreieck mit dem Umkreismittelpunkt (Höhe: AS/2, 2. Kathete: AS)

Anstatt stets neu konstruieren zu müssen, wurde im 19. Jahrhundert von Künstlern und Handwerkern ein Goldener Zirkel – ein auf das Goldene Verhältnis eingestellter Reduktionszirkel – benutzt. Insbesondere im Schreinerhandwerk wurde ein ähnliches Instrument in Form eines Storchschnabels benutzt.[* 2]

Der Goldene Schnitt im Fünfeck und im Pentagramm[Bearbeiten]

Hauptartikel: Pentagramm und Fünfeck

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden jeweils eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks z.B. befindet sich im Goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander wiederum teilen sich ebenfalls im goldenen Verhältnis, d. h. AD verhält sich zu BD wie BD zu CD. Der Beweis dazu nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.

Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt. Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es damit in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das man in das innere Fünfeck zeichnen könnte, und damit auch in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist.

Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch CD=CC' gilt. Ursache ist, dass das Dreieck DCC’ zwei gleiche Winkel besitzt, wie man durch Parallelverschiebung der Strecke CC’ erkennen kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:

 \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\overline{\mathrm{BB'}}} = \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\overline{\mathrm{CC'}}}

Ersetzt man AC=AB+BC und beachtet die Gleichheit der auftretenden Teilstücke, so erhält man genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt.

Goldenes Rechteck und Goldenes Dreieck[Bearbeiten]

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, bezeichnet man als Goldenes Rechteck. Ebenso nennt man ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, Goldenes Dreieck.

Goldener Winkel[Bearbeiten]

Der Goldene Winkel \Psi\approx 137{,}5^\circ
Blattstand einer Pflanze mit einem Blattabstand nach dem Goldenen Winkel

Den Goldenen Winkel \Psi erhält man, wenn man den Vollwinkel im Goldenen Schnitt teilt. Dies führt auf den überstumpfen Winkel \frac{2 \pi}{\Phi} \approx 3{,}88 \approx 222{,}5^\circ. Gewöhnlich wird aber seine Ergänzung zum Vollwinkel, \Psi = 2\pi - \frac{2 \pi}{\Phi} \approx 2{,}40 \approx 137{,}5^\circ als Goldener Winkel bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass Drehungen um ±2π keine Rolle spielen und das Vorzeichen nur den Drehsinn des Winkels bezeichnet. Es ist nämlich

\textstyle\Psi = \left|\frac{2 \pi}{\Phi}-2\pi\right|.

Durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel entstehen immer wieder neue Positionen, etwa für die Blattansätze im Bild. Wie bei jeder irrationalen Zahl werden dabei nie exakte Überdeckungen entstehen. Weil die Goldene Zahl im unten beschriebenen Sinn die „irrationalste“ Zahl darstellt, wird dabei erreicht, dass die Überdeckung der Blätter, welche die Photosynthese behindert, in der Summe minimiert wird.


Goldene Spirale[Bearbeiten]

Goldene Spirale (genähert durch Viertelkreise)

Die Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale. Diese Spirale lässt sich mittels rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck konstruieren (siehe nebenstehendes Bild). Sie wird oft durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor \Phi.[* 3]

Es gilt: \textstyle r(\varphi) = a e^{k\varphi} mit der Steigung \textstyle k = \pm \frac{\ln{\Phi}}{\alpha_\llcorner}, wobei \alpha_\llcorner hierbei der Zahlenwert für den rechten Winkel, also 90° bzw. \tfrac{\pi}{2} ist, also \textstyle k = \frac{2\ln(\Phi)}{\pi} mit der Goldenen Zahl \textstyle \Phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}.

Mithin gilt für die Steigung: \textstyle |k| \approx 0{,}005346798 /{}^\circ \approx 0{,}30634896 / \mathrm{rad}.

Goldener Schnitt im Ikosaeder[Bearbeiten]

Drei Goldene Rechtecke im Ikosaeder

Die zwölf Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von drei gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes.

Mathematische Eigenschaften[Bearbeiten]

Herleitung des Zahlenwertes[Bearbeiten]

Die in der Einleitung angegebene Definition

 \frac{a }{ b} = \frac{a + b}{ a}

lautet mit aufgelöster rechter Seite und nach Umstellung

 \frac{a}{b} - 1 - \frac{b}{a} = 0

beziehungsweise mit   \frac{a}{b} = \Phi   wie folgt:

\Phi - 1 - \frac{1}{\Phi} = 0\,.

Multiplikation mit   \Phi   ergibt die quadratische Gleichung

\Phi^2 - \Phi - 1 = 0

mit den beiden Lösungen   \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1{,}618\ldots   und   \frac{1-\sqrt{5}}{2} = -0{,}618\ldots

Da von diesen beiden Werten nur der positive für die Goldene Zahl in Frage kommt, folgt

\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1{,}618\ldots

Die Goldene Zahlenfolge[Bearbeiten]

Goldene Zahlenfolge für a0=1
 z a_z=\Phi^z\cdot a_0
4 ≈ 6,854 \Phi^4 = 3 \cdot \Phi + 2
3 ≈ 4,236 \Phi^3 = 2 \cdot \Phi + 1
2 ≈ 2,618 \Phi^2 = \Phi + 1
1 ≈ 1,618 \Phi
0 = 1,000 \Phi^0 = 1
−1 ≈ 0,618 \Phi^{-1} = \Phi - 1
−2 ≈ 0,382 \Phi^{-2} = -\Phi + 2
−3 ≈ 0,236 \Phi^{-3} = 2 \cdot \Phi - 3
−4 ≈ 0,146 \Phi^{-4} = -3 \cdot \Phi + 5

Zu einer gegebenen Zahl a_0 lässt sich eine Folge a_z:=\Phi^z\cdot a_0 für z\in\Z konstruieren. Diese Folge hat die Eigenschaft, dass je drei aufeinanderfolgende Glieder (a_{z-1},a_z,a_{z+1}) einen Goldenen Schnitt bilden, das heißt, es gilt

\frac{a_z}{a_{z-1}}=\frac{a_{z+1}}{a_z}\qquad\textrm{sowie}\qquad a_{z+1}=a_z+a_{z-1}\qquad\mathrm{f\ddot ur\,alle}\,z\in\Z\,.

Diese Folge spielt in der Proportionslehre in Kunst und Architektur eine wichtige Rolle, weil sich zu einer gegebenen Länge a_0 weitere dazu harmonisch wirkende Längen erzeugen lassen. Dadurch lassen sich auch Objekte sehr unterschiedlicher Abmessungen, wie etwa Fenster- und Raumbreite, mittels des Goldenen Schnitts in Bezug setzen und ganze Serien untereinander harmonischer Maße erstellen.

Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen[Bearbeiten]

Verhältnisse aufeinanderfolgender
Fibonacci-Zahlen
f_n f_{n+1} \frac{f_{n+1}}{f_n} Abweichung
zu \Phi in %
1 1 = 1,0000 −38
1 2 = 2,0000 +23
2 3 = 1,5000 −7,3
3 5 ≈ 1,6667 +3,0
5 8 = 1,6000 −1,1
8 13 = 1,6250 +0,43
13 21 ≈ 1,6154 −0,16
21 34 ≈ 1,6190 +0,063
34 55 ≈ 1,6176 −0,024
55 89 ≈ 1,6182 +0,0091
89 144 ≈ 1,6180 −0,0035
144 233 ≈ 1,6181 +0,0013

In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendliche Zahlenfolge der Fibonacci-Zahlen (siehe unten die Abschnitte Mittelalter und Renaissance):

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

Die jeweils nächste Zahl in dieser Folge erhält man als Summe der beiden vorangehenden. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Folge strebt gegen den Goldenen Schnitt (siehe Tabelle). Das rekursive Bildungsgesetz f_{n+1} = f_n + f_{n-1} bedeutet nämlich

\frac{f_{n+1}}{f_n} = \frac{f_n+f_{n-1}}{f_n} = 1 + \frac{f_{n-1}}{f_n}.

Sofern dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert \Phi konvergiert, muss für diesen gelten

\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi}.

Diese Argumentation gilt auch für verallgemeinerte Fibonacci-Folgen mit zwei beliebigen Anfangsgliedern.

Die Glieder der Fibonacci-Folge f_n lassen sich für alle n \in \N über die Formel von Binet berechnen:

f_n = \frac{1}{\sqrt{5}} (\Phi^n - \bar\Phi^n)

mit \bar\Phi = 1 - \Phi =  \tfrac{1-\sqrt{5}}{2}.

Diese Formel liefert die richtigen Anfangswerte f_0=0 und f_1=1 und erfüllt die rekursive Gleichung f_{n+1} = f_n + f_{n-1} für alle n.[* 4]

Approximationseigenschaften der Goldenen Zahl[Bearbeiten]

Wie weiter oben schon angegeben, ist die Goldene Zahl \Phi eine irrationale Zahl, das heißt sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie wird manchmal die „irrationalste“ aller Zahlen genannt, weil sie sich (in einem speziellen zahlentheoretischen Sinn) besonders schlecht durch rationale Zahlen approximieren lässt (Diophantische Approximation). Dies soll im Folgenden durch einen Vergleich mit der ebenfalls irrationalen Kreiszahl \pi illustriert werden. Letztere ist wesentlich besser approximierbar als \Phi, zum Beispiel lässt \pi sich durch den Bruch \tfrac{22}{7} mit einer Abweichung von nur zirka 0,00126 approximieren. Einen derartig geringen Fehler würde man im Allgemeinen erst bei einem sehr viel größeren Nenner erwarten.[4]

Die Goldene Zahl lässt sich direkt aus der Forderung nach möglichst schlechter Approximierbarkeit durch rationale Zahlen konstruieren. Um das zu verstehen, betrachte man das folgende Verfahren zur Approximation beliebiger Zahlen durch einen Bruch am Beispiel der Zahl \pi. Wir zerlegen diese Zahl zunächst in ihren ganzzahligen Anteil und einen Rest, der kleiner als 1 ist: \pi = 3 + \text{Rest}. Der Kehrwert dieses Restes ist eine Zahl, die größer als 1 ist. Sie lässt sich daher wiederum zerlegen in einen ganzzahligen Anteil und einen Rest kleiner 1: \pi = 3 + \tfrac{1}{7 + \text{Rest}}. Verfährt man mit diesem Rest und allen folgenden ebenso, dann erhält man die so genannte unendliche Kettenbruchentwicklung der Zahl \pi

\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}.

Wird diese Kettenbruchentwicklung nach endlich vielen Schritten abgebrochen, dann erhält man für \pi die bekannten Näherungen 3, \tfrac{22}{7}, \tfrac{333}{106}, \tfrac{355}{113}, …, die rasch gegen \pi streben. Für jeden einzelnen dieser Brüche gilt, dass es keinen Bruch mit einem kleineren Nenner gibt, der \pi besser approximiert. Dies gilt ganz allgemein:

Wenn man die Kettenbruchentwicklung einer irrationalen Zahl x an irgendeiner Stelle abbricht, so erhält man eine rationale Zahl p/q, die x optimal approximiert unter allen rationalen Zahlen mit Nenner \le q.[5]

Im obigen Kettenbruch erscheint vor jedem Pluszeichen eine ganze Zahl. Je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist der Bruch, in dessen Nenner sie steht, und umso kleiner ist daher auch der Fehler, der entsteht, wenn der unendliche Kettenbruch vor diesem Bruch abgebrochen wird. Die größte Zahl im obigen Abschnitt des Kettenbruchs ist die 15. Das ist der Grund, warum \tfrac{22}{7} eine derart gute Approximation für \pi darstellt.

In Umkehrung dieser Argumentation folgt nun, dass die Approximation besonders schlecht ist, wenn die Zahl vor dem Pluszeichen besonders klein ist. Die kleinste zulässige Zahl dort ist aber die 1. Der Kettenbruch, der ausschließlich Einsen enthält, lässt sich daher besonders schlecht durch rationale Zahlen approximieren und ist in diesem Sinn die „irrationalste aller Zahlen“.

Für die Goldene Zahl gilt nun aber \Phi = 1 + \tfrac{1}{\Phi} (siehe oben), woraus sich durch wiederholte Anwendung ergibt

\Phi = 1 + \frac{1}{\Phi} = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\Phi}} = \cdots = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{\cdots}{\cdots + \cfrac{1}{\Phi}}}}}.

Da die Kettenbruchentwicklung der Goldenen Zahl \Phi also nur Einsen enthält, gehört sie zu den Zahlen, die besonders schlecht rational approximierbar sind. Bricht man ihre Kettenbruchentwicklung an irgendeiner Stelle ab, so erhält man stets einen Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen.[6]

Eine weitere kuriose Bezeichnung ist die folgende: In der Theorie der dynamischen Systeme bezeichnet man Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab irgendeiner Stelle nur noch Einsen enthält, als „noble Zahlen“. Da die Goldene Zahl nur Einsen in ihrem Kettenbruch hat, kann man sie scherzhaft als „nobelste Zahl“ bezeichnen.

Weitere mathematische Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Aus \Phi^2 = 1 + \Phi lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:
\Phi = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\ldots}}}}\,.
  • Das Quadrat \Phi^2 = \Phi + 1 und jede höhere ganzzahlige Potenz von \Phi lassen sich als Summe aus einem ganzzahligen Vielfachen von \Phi und einem ganzzahligen Vielfachen von 1 darstellen. Auf dieser Eigenschaft beruht die fundamentale Bedeutung des Goldenen Schnitts für quasiperiodische Gitter (siehe Quasikristall).
  • Genauer gilt \Phi^n = \Phi^{n-1}+\Phi^{n-2} = f_{n-1} + f_n \cdot \Phi = f_{n+1} + f_n \cdot \tfrac{1}{\Phi} (wobei f_n die n-te Fibonacci-Zahl ist).
  • Aus der Trigonometrie erhält man unter anderem
\Phi = 2\cos(\tfrac{\pi}{5}) = 2 \sin(\tfrac{3 \pi}{10})
und
\frac{1}{\Phi} = 2\sin(\tfrac{\pi}{10}) = 2\cos(\tfrac{2\pi}{5})\,\,.
\tfrac{\pi}{5} ist der volle Spitzwinkel und \tfrac{3\pi}{10} die Hälfte des stumpfen Außenwinkels des Pentagramms. Gelegentlich wird die Rolle des Goldenen Schnitts für das Fünfeck als vergleichbar bedeutend bezeichnet wie die der Kreiszahl \pi für den Kreis.
\Phi^{\pm1} = e^{\operatorname{arsinh}\left(\pm\tfrac{1}{2}\right)}\,.
\Phi = \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\Phi^k}\,.

Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes[Bearbeiten]

Geometrisches Mittel[Bearbeiten]

Wird die Strecke AB in ihrer Länge [AB] als reelle Zahl a interpretiert, und die Teilung durch den Goldenen Schnitt im Punkt T in die beiden Teilstrecken AT und BT als Zerlegung dieser Zahl a in zwei Summanden x und a-x, so ist x das geometrische Mittel der Zahlen a und a-x. Das folgt aus der allgemeinen Definition des geometrischen Mittels \bar{x}_\mathrm{geom} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} , hier:  x= \sqrt[2] {a (a-x)}. Des Weiteren folgt daraus unmittelbar, dass a wiederum das geometrische Mittel von x und a+x ist.[7]

Für jedes beliebige reelle a lässt sich daher sowohl eine mathematische Folge aufsteigend wie absteigend angeben. Die aufsteigende, wie auch die absteigende Folge ist jeweils rekursiv definiert.

Für die aufsteigende Folge gilt: a_{i+1} = a_i + \tfrac{1}{2}(1+ \sqrt{5}) a_i mit dem Anfangspunkt a_0 = a.

Für die absteigende Folge gilt: a_{i+1} = a_i - \tfrac{1}{2}(1+ \sqrt{5}) a_i mit dem Anfangspunkt a_0 = a.

Stetige Teilung[Bearbeiten]

Die geometrische Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes durch seine mehrfache Anwendung ist die Stetige Teilung einer Strecke \overline{AB}. Dabei wird die Strecke \overline{AB} zunächst in eine kleinere Strecke \overline{AA'} und eine größere \overline{A'B} zerlegt. Die Strecke \overline{A'B} (d.h. der größere der entstandenen Streckenabschnitte) wird nunmehr erneut einem Goldenen Schnitt unterzogen, wobei \overline{A''B} als (neuer) größerer Streckenabschnitt und \overline{A'A''} als kleinerer verbleiben. Dieser Schritt kann nun unendlich oft wiederholt werden, da auf Grund der mathematischen Eigenschaften des Goldenen Schnittes trotz der fortschreitenden Teilung es keinen Punkt A^{(n)} geben wird, der mit dem ursprünglichen Punkt A zusammenfällt.

Dieses allgemeingültige Vorgehen kann aber auch dadurch erreicht werden, dass im Punkt B nach der Konstruktion von A' die Strecke \overline{AA'} abgetragen wird: Der auf diese Weise entstehende Punkt A'' ist der gleiche, wie der soeben in der (allgemeinen) Zerlegung beschriebene Punkt A''.

Diese Schrittfolge bezeichnet man als Stetige Teilung einer Strecke \overline{AB}.[1]

Analytisch ist damit die Stetige Teilung als Verallgemeinerung des Goldenen Schnittes ein Beispiel von Selbstähnlichkeit: Interpretiert man wiederum die entstandenen Längen der Strecken als reelle Zahlen, so gilt: Subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine noch kürzere Strecke a-b, zu der die mittlere Strecke b wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht, also

\frac{b}{a-b} = \frac{a}{b} .

Diese Aussage ist analytisch wiederum identisch zu der absteigenden geometrischen Folge des vorangegangenen Abschnittes. Für die Verlängerung einer gegebenen Strecke gilt demzufolge die gleiche Aussage, sie führt zur aufsteigenden geometrischen Folge.

Aus dieser Aussage heraus gilt aber auch: Ein Rechteck mit den Seiten a und b entspricht genau dann dem Goldenen Schnitt, wenn das auch für das Rechteck mit den Seiten a+b und a der Fall ist. Ein Goldenes Rechteck lässt sich daher stets in ein kleineres Goldenes Rechteck und ein Quadrat zerlegen. Diese Verallgemeinerung ist wiederum Grundlage für die Konstruktion der (unendlichen) Goldenen Spirale, wie oben beschrieben.

Verfahren des Goldenen Schnittes[Bearbeiten]

Das Verfahren des Goldenen Schnittes (auch: Methode des Goldenen Schnittes, Suchverfahren Goldener Schnitt, seltener auch Goldenes Verfahren) ist ein Verfahren der mathematischen nichtlinearen Optimierung, genauer berechnet es algorithmisch eine numerische Näherung für eine Extremstelle (Minimum oder Maximum) einer reellen Funktion einer Variablen in einem Suchintervall [a,b]. Es basiert auf der analytischen Anwendung der ursprünglich geometrisch definierten stetigen Teilung. Im Gegensatz zum Intervallhalbierungsverfahren wird dabei das Suchintervall nicht bei jedem Schritt halbiert, sondern nach dem Prinzip des Goldenen Schnittes verkleinert.

Der verwendete Parameter \tau (tau) hat dabei nicht, wie bei dem Bisektionsverfahren, den Wert \tfrac{1}{2}, sondern man wählt \textstyle \tau = \Phi - 1, sodass sich zwei Punkte \textstyle x = b - \tau (b-a) und \textstyle x' = a + \tau(b-a) für das Optimierungsverfahren ergeben, die das Suchintervall im Goldenen Schnitt teilen.[8]

Wird angenommen, dass jeder Punkt in jedem Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit Extrempunkt sein kann, führt dies bei Unbestimmtheitsintervallen dazu, dass das Verfahren des Goldenen Schnittes z. B. um 14 % effektiver ist als die Intervallhalbierungsmethode. Im Vergleich zu diesem und weiteren sequentiellen Verfahren ist es – mathematisch gesehen – das für allgemeine Funktionen effektivste Verfahren; nur im Fall differenzierbarer Funktionen ist es der direkten mathematischen Lösung unterlegen.[9]

Dass sich dieses Verfahren in der manuellen Rechnung nicht durchgesetzt hat, liegt vor allem an den notwendigen Wurzelberechnungen für die einzelnen Zwischenschritte. Für computergestützte Berechnungen sind heute andere numerische Verfahren leistungsfähiger, so dass es sich auch in diesem Bereich nicht durchsetzte.

Geschichte[Bearbeiten]

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Der Goldene Schnitt ist ein Begriff, der erst ab der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts populär wurde, obwohl die mathematischen Prinzipien schon seit der Antike bekannt waren. Auch der Begriff Goldene Zahl stammt aus dieser Zeit, noch 1819 wird dieser Begriff mit dem Meton-Zyklus in einem der Griechischen Kalendersysteme in Verbindung gebracht.[10]

Antike[Bearbeiten]

Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes findet sich im zweiten Buch der Elemente des Euklid (um 300 v. Chr.), der darauf über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später ins Lateinische als „proportio habens medium et duo extrema“ übersetzt, was heute als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.[11][* 5][12]

Als historisch gesichert kann heute gelten, dass der Goldene Schnitt bereits vor Euklid bekannt war. Umstritten ist, ob die Entdeckung auf Hippasos von Metapont (spätes 6. Jahrhundert v. Chr.) oder auf Eudoxos von Knidos (um 370 v. Chr.) zurückgeht.[13]

Mittelalter[Bearbeiten]

Liber abbaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124r: Fibonacci-Zahlen am Rand der „Kaninchenaufgabe“

In seinem Rechenbuch Liber abbaci (nicht erhaltene Erstfassung 1202, erhaltene 2. Fassung nicht vor 1220), einem umfangreichen arithmetischen und algebraischen Lehrwerk über das Rechnen mit den indo-arabischen Ziffern, kommt der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt „Fibonacci“, kurz auch auf die später nach ihm benannten Fibonacci-Folge zu sprechen, und zwar im Zusammenhang mit der sogenannten Kaninchen-Aufgabe, in der zu errechnen ist, wie viele Kaninchenpaare bei einer Fortpflanzungsrate von einem Paar Jungkaninchen pro Elternpaar und Monat nach Ablauf eines Jahres insgesamt vorhanden sind, wenn ein erstes Paar bereits im ersten Monat und dessen Nachwuchs jeweils ab seinem zweiten Lebensmonat Junge wirft.[14] Leonardo führt die Zahlenfolge für jeden Monat vor (2, 3, 5, 8 ... bis 377) und weist darauf hin, dass sich jedes Glied der Reihe (ab dem dritten) durch Summierung der beiden vorhergehenden Reihenglieder errechnen lässt. Eine weitere Beschäftigung mit dieser Folge findet sich bei ihm nicht, d. h. der Zusammenhang zum Goldenen Schnitt wird von ihm nicht dargestellt.

Dass ihm allerdings der (erst später so genannte) Goldene Schnitt bekannt und in der Tradition Euklids ein Begriff war, zeigt sich gegen Ende seines Werks bei einer algebraischen Aufgabe, in der es darum geht (in moderner Formulierung wiedergegeben)[15] a und b zu finden mit 10 = a + b und \tfrac{a}{b} + \tfrac{b}{a} = \sqrt{5}. Hierzu weist Leonardo darauf hin, dass im Fall von a > b die Proportion 10 : a = a : b gilt, 10 also von a und b im Verhältnis des Goldenen Schnittes (ohne diesen Begriff zu gebrauchen) geteilt wird ("et scis, secundum hanc diuisionem, 10 diuisa esse media et extrema porportione; quia est sicut 10 ad maiorem partem, ita maior pars ad minorem").[16]

Renaissance[Bearbeiten]

Der vitruvianische Mensch, Leonardo da Vinci, 1492, Proportionsstudie nach Vitruv

Einen Zusammenhang zwischen Fibonacci-Folge und Goldenem Schnitt stellte Leonardo jedoch noch nicht her: Die Entdeckung, dass sich bei Teilung eines Gliedes der Fibonacci-Folge durch das vorhergehende Reihenglied als Näherungswert Φ ergibt, wurde lange Zeit Johannes Kepler zugeschrieben, konnte jedoch in jüngerer Zeit auch schon in einer handschriftlichen Anmerkung nachgewiesen werden, mit der ein mutmaßlich aus Italien stammender Leser in der ersten Hälfte des 16. Jahrhunderts Euklids Theorem II.11 in der Euklid-Ausgabe Paciolis von 1509 kommentierte:[17]

Sit linea ab 233 pedum, divisa ut docet 11 huius in duo inaequalia in puncto h et sit bh portio eius maior 144 et ha portio eius minor 89. ducatur ab in ha et perveniunt 20737 et bh in se et perveniunt 20736. et sic cognosces quod in mutationibus non est laborandum quid impossibile est numerum ita dividi ut ista 11 proponit. similiter accidit si linea 13 pedum dividatur in lineam 8 pedum, et lineam 5. [„Eine Gerade ab von 233 Fuß sei so, wie es Theorem 11 hier vorführt, an einem Punkt h in zwei ungleiche Teile geteilt, und dabei sei bh sein größerer Teil mit 144 und ha sein kleinerer Teil mit 89. ab sei multipliziert mit ha, und es ergeben sich 20737, und bh multipliziert mit sich selbst, so ergeben sich 20736. Und daran magst du erkennen, dass man sich nicht mit Ersetzungen abzumühen braucht, um zu zeigen, dass es unmöglich ist, die Zahl so zu teilen, wie es hier Theorem 11 vorführt. Das gleiche ergibt sich, wenn eine Gerade von 13 Fuß in eine Gerade von 8 und eine von 5 Fuß geteilt wird.“]

Auch der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität von Perugia Mathematik lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt befasst. Er nannte diese Streckenteilung Göttliche Teilung, was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk „De Divina Proportione“ von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452–1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis von Seite des den Menschen umgebenden Quadrats zu Radius des umgebenden Kreises – nicht das Verhältnis der Proportionen des Menschen selbst – in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7 % dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde man diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht erwarten.

Im Oktober 1597 stellte Johannes Kepler in einem Brief an seinen früheren Tübinger Professor Michael Maestlin die Frage, warum es nur eine einzige mögliche Lösung gebe für die Aufgabe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, bei dem das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite dem der längeren zur Hypotenuse entspricht. Auf das Original dieses Briefes notierte Maestlin eine Berechnung, die die Hypotenuse einmal mit 10 und einmal mit 10.000.000, und für den letzteren Fall dann die längere Seite mit 7.861.514 und die kürzeste Seite mit 6.180.340 beziffert. Das entspricht einer bis auf die sechste Nachkommastelle genauen (und bis zur fünften korrekten) Angabe des Goldenen Schnittes und ist nach den älteren sexagesimalen Berechnungen der Antike die erste bekannte dezimale Angabe dieser Art.[18]

19. und 20. Jahrhundert[Bearbeiten]

In Abhandlungen verschiedener Autoren im 19. Jahrhundert, insbesondere von dem Philosophen Adolf Zeising[19], wurden die beiden Schriften von Pacioli und da Vinci zu der These kombiniert, Pacioli habe in der „De Divina Proportione” in Zusammenarbeit mit Leonardo da Vinci einen Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt hergestellt und damit seine Wiederentdeckung für die Malerei der Renaissance begründet. Zeising war überdies von der Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik überzeugt, dessen Basis der Goldene Schnitt sein müsse. Er suchte und fand den Goldenen Schnitt überall. Seine Schriften verbreiteten sich rasch und begründeten eine wahre Euphorie bezüglich des Goldenen Schnittes. Andererseits zeigt eine Untersuchung der Literatur, dass vor Zeising niemand in den Werken der Antike oder Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte. Entsprechende Funde sind daher heute unter Kunsthistorikern eher umstritten, wie z. B. Neveux 1995 nachwies.[20]

Eine der ersten gesicherten Verwendungen der Bezeichnung Goldener Schnitt wurde 1835 von Martin Ohm (1792–1872; Bruder von Georg Simon Ohm) in einem Lehrbuch der Mathematik verwendet.[11][21] Auch die Bezeichnung sectio aurea entstand erst in dieser Zeit.

Gustav Theodor Fechner, ein Begründer der experimentellen Psychologie, stellte 1876 bei Untersuchungen mit Versuchspersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest.[22] Die Ergebnisse bei der Streckenteilung und bei Ellipsen fielen jedoch anders aus. Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt. Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.[23][24]

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Der rumänische Diplomat Matila Ghyka verband in seinen Schriften Esthétique des Proportions (1927) und Le nombre d'or (1931) den religiösen Aspekt von Pacioli mit dem ästhetischen von Zeising. Er interpretierte den Goldenen Schnitt als fundamentales Geheimnis des Universums und führte dazu vor allem Beispiele in der Natur an.

Ende des 20. Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mit röntgenanalytischen Verfahren unter der Farbe von Originalgemälden, die angeblich den Goldenen Schnitt enthalten würden, vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren.[20][25]

Vorkommen in der Natur[Bearbeiten]

Biologie[Bearbeiten]

Anordnung von Blättern im Abstand des Goldenen Winkels von oben betrachtet. Das Sonnenlicht wird optimal genutzt.

Das spektakulärste Beispiel für Verhältnisse des Goldenen Schnittes in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen.[* 6] Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinander folgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich dabei um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Die daraus entstehenden Strukturen werden auch als selbstähnlich bezeichnet: Auf diese Weise findet sich ein Muster einer tieferen Strukturebene in höheren Ebenen wieder. Beispiele sind die Sonnenblume[* 7], Kohlarten, Kiefernnadeln an jungen Ästen, Zapfen[* 8], Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten und die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jeder Blattwurzel einen besonderen Wachstumshemmer (Inhibitor) erzeugen, der im Pflanzenstamm – vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung – diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Würde dieser Winkel den Vollkreis im Verhältnis einer rationalen Zahl \tfrac{m}{n} teilen, dann würde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige n Blätter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Daher stellt sich ein Winkel mit einem Verhältnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl ist nun aber gerade die Goldene Zahl (siehe oben). Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie beispielsweise die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.

Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt wird[* 9], eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci äußerte, oder auch im effizienteren Transport der durch Photosynthese entstandenen Kohlenhydrate im Phloemteil der Leitbündel nach unten. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, … korrespondiert. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschiedenen Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen

Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang des Pflanzenstammes besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinander folgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand n, wobei n eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das n-fache des Goldenen Winkels \Psi ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen

n\Psi=n\frac{360^\circ}{\Phi}\approx n\frac{m}{n}360^\circ=m\,360^\circ\,,

wobei m die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu n ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind n Spiralen zu sehen. Ist \tfrac{n}{m} größer als \Phi, so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen
Berechneter Blütenstand mit 1000 Samen im Goldenen Winkel – Es stellen sich 13, 21, 34 und 55 Fibonacci-Spiralen ein.

Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen (die damit wiederum dem Goldenen Schnitt zugeordnet sind) in Blütenständen, wie beispielsweise bei Sonnenblumen.[* 10] Pflanzenarchitektonisch entsprechen den einzelnen Samen Blätter, wobei jedes einzelne einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann, so als hätte man einen Pflanzenstamm mit seinen Blättern wie ein Teleskop zusammengeschoben. Wachstumstechnisch aufeinander folgende Samen liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen zählt man 34 und 55 Spiralen, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 %.

Der Goldene Schnitt ist außerdem in radiärsymmetrischen fünfzähligen Blüten erkennbar wie beispielsweise bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Hecken-Rose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich in seinem Verhältnis. Das betrifft ebenso Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.[* 11]

Goldener Schnitt im Efeublatt

Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt auch im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie beispielsweise bei der Pappel. Auch im Efeublatt stehen die Blattachsen a und b (siehe Abbildung) ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

Noch im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, dass der Goldene Schnitt ein göttliches Naturgesetz sei und in vielfacher Weise auch in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert wäre. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers[19] an, dass der Nabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnittes teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie beispielsweise bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen der Verhältnisse im 20-%-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie beispielsweise die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser These bis heute eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen Größen sind.[* 12]

Bahnresonanzen[Bearbeiten]

Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie beispielsweise Jupiter und Saturn mit 2:5 oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit 1:2:4. Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch hinreichend irrationale Verhältnisse, wie sie beispielsweise im Fall 1:\Phi vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen (siehe Kolmogorow-Arnold-Moser-Theorem) genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorow, V. I. Arnold und Jürgen Moser stehen.[26][27]

Schwarze Löcher[Bearbeiten]

Kontrahierbare kosmische Objekte ohne feste Oberfläche, wie Schwarze Löcher oder auch die Sonne, haben aufgrund ihrer Eigengravitation (self-gravity) die paradoxe Eigenschaft, heißer zu werden wenn sie Wärme abstrahlen (negative Wärmekapazität). Bei Schwarzen Löchern, die rotieren, findet ab einer kritischen Geschwindigkeit ein Umschlag von negativer zu positiver Wärmekapazität statt. Dieser Tipping-Point wird nur von der Masse und dem Goldenen Schnitt definiert.[28] Eine weitere Verbindung zwischen Schwarzen Löchern und dem Goldenen Schnitt ergibt sich bei der Betrachtung in höheren Dimensionen.[29]

Kristallstrukturen[Bearbeiten]

Der Goldene Schnitt tritt auch bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die 1984 von Dan Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden.[30] Dabei handelt es sich um Strukturen mit fünfzähliger Symmetrie, aus denen sich aber, wie bereits Kepler erkannte, keine streng periodischen Kristallgitter aufbauen lassen, wie dies bei Kristallen üblich ist. Entsprechend groß war die Überraschung, als man bei Röntgenstrukturanalysen Beugungsbilder mit fünfzähliger Symmetrie fand. Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschiedenen rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen man den Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität füllen kann (Penrose-Parkettierung). Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen rautenförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind. Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.[31] Für die Entdeckung von Quasikristallen wurde Shechtman 2011 der Nobelpreis für Chemie verliehen.[32]

Anwendungen des Goldenen Schnitts[Bearbeiten]

Papier- und Bildformate[Bearbeiten]

Im Buchdruck wurde gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, der so genannte Satzspiegel, so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie 2:3:5:8 verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert den Goldenen Schnitt. Eine solche Gestaltung wird auch weiterhin in Teilen der Fachliteratur zum Buchdruck empfohlen.[* 13]

Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen[Bearbeiten]

Die folgende Abbildung zeigt im Vergleich verschiedene Rechtecke mit prominenten Seitenverhältnissen in der Umgebung von  Φ=1,618... . Angegeben ist jeweils das Verhältnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor:

Goldener Schnitt Rechtecke Aspect ratio compare6.png

  • 4 : 3 – Traditionelles Fernsehformat und Ballenformat für Packpapier. Auch bei älteren Computermonitoren verwendet (z. B.: 1024 × 768 Pixel). Dieses Format geht zurück auf Thomas Alva Edison, der 1889 das Format des klassischen Filmbildes (35-mm-Film) auf 24 × 18 mm festlegte.[33]
  • 2 : 1 – Das Seitenverhältnis beim DIN-A4-Blatt und verwandten DIN- / EN- / ISO-Maßen. Bei einer Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks halbiert, entstehen wiederum Rechtecke mit demselben Seitenverhältnis.
  • 3 : 2 – Seitenverhältnis beim Kleinbildfilm (36 mm × 24 mm).
  • Φ : 1 – Seitenverhältnis im Goldenen Schnitt. Entspricht dem historischen Buchformat Oktav. Im Bild approximiert mit 144 Pixel × 89 Pixel (theoretischer Fehler nur 5 · 10−5). Die beiden benachbarten Rechtecke 3:2 und 5:3 haben Seitenverhältnisse von aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen und approximieren daher ebenfalls den Goldenen Schnitt vergleichsweise gut.
  • 5 : 3 – Findet neben dem noch breiteren 1 : 1,85 als Kinofilmformat Verwendung.
  • 16 : 9 – Breitbildfernsehen.
  • 16 : 10 – Manche Computerbildschirme. Diese passen mit 1,6 : 1 fast zum Goldenen Schnitt.

Architektur[Bearbeiten]

Frühe Hinweise auf eine – vermutlich unbewusste – Verwendung des Goldenen Schnittes stammen aus der Architektur. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde.[* 14] Die entsprechende Textstelle ist allerdings interpretierbar. Andererseits wird auch die These vertreten, dass das Verhältnis 2:\pi für Pyramidenhöhe zu Basiskante die tatsächlichen Maße noch besser widerspiegele. Der Unterschied zwischen beiden vertretenen Thesen beträgt zwar lediglich 3,0 %, ein absoluter Beweis zugunsten der einen oder anderen These ist demzufolge damit aber nicht verbunden.

Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie beispielsweise die Vorderfront des 447–432 v. Chr. unter Perikles erbauten Parthenon-Tempels auf der Athener Akropolis.[* 15] Da zu diesen Werken keine Pläne überliefert sind, ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewählt wurden. Auch in späteren Epochen sind mögliche Beispiele für den Goldenen Schnitt, wie etwa der Dom von Florenz[* 16], Notre Dame in Paris oder die Torhalle in Lorsch (770 n. Chr.)[* 17] zu finden. Auch in diesen Fällen ist die bewusste Anwendung des Goldenen Schnittes anhand der historischen Quellen nicht nachweisbar.

Es gibt demzufolge keinen empirisch gesicherten Nachweis für eine signifikant größere Häufigkeit des Goldenen Schnittes in diesen Epochen im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen. Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnittes.

Altes Rathaus, Leipzig

Als ein Beispiel für eine Umsetzung des Goldenen Schnittes wird immer wieder das Alte Rathaus in Leipzig, ein Renaissancebau aus den Jahren 1556/57, herangezogen.[34] Der aus der Mittelachse gerückte Rathausturm wird, so wird behauptet, als architektonische Avantgardeleistung der damaligen Zeit angesehen und er stünde mit dem dadurch verursachten Aufruhr für das städtische Selbstbewusstsein der Stadt. Gleichwohl gibt es bei genauer historischer Quellenforschung keinen Beleg dafür. Insbesondere gibt es keinen Beleg dafür, dass Hieronymus Lotter als der damalige Baumeister, den Goldenen Schnitt bewusst als Konstruktionsprinzip verwendet hat: Alle originären Quellen verweisen lediglich auf einen gotischen Vorgängerbau, auf dessen Grundmauern Lotter das Rathaus errichtet hat. Dass der Goldene Schnitt hier eine Rolle gespielt habe, ist quellenhistorisch nicht belegbar.

Die erste – quellenhistorisch gesicherte – Verwendung des Goldenen Schnittes in der Architektur stammt aus dem 20. Jahrhundert: Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887–1965) entwickelte ab 1940 ein einheitliches Maßsystem basierend auf den menschlichen Maßen und dem Goldenen Schnitt. Er veröffentlichte dieses 1949 in seiner Schrift Der Modulor, die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte und -theorie gezählt wird. Bereits 1934 wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der Universität Zürich der Titel doctor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen.[* 18] Für eine frühere Verwendung dieses Systems ist dieses jedoch aus den aufgezeigten Gründen kein Beleg.

Bildende Kunst[Bearbeiten]

Bildkomposition[Bearbeiten]

Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung. Für die generelle These, dass diese Proportion als besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege. Viele Künstler setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von möglichen Strukturen, wie man sie beispielsweise in einem reich strukturierten Gemälde finden kann, oft umstritten.[35]

So werden zahlreichen Skulpturen griechischer Bildhauer, wie der Apollo von Belvedere, der Leochares (um 325 v. Chr.) zugeschrieben wird, oder Werke von Phidias (5. Jahrhundert v. Chr.) als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen. Auf letzteren bezieht sich auch die heute oft übliche Bezeichnung \Phi für den Goldenen Schnitt, die von dem amerikanischen Mathematiker Mark Barr eingeführt wurde. Die ebenfalls gelegentlich verwendete Bezeichnung \tau bezieht sich dagegen auf das griechische Wort τομή für „Schnitt“.[36]

Der Goldene Schnitt wird auch in vielen Gemälden der Renaissance vermutet, wie bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, zum Beispiel bei da Vincis Das Abendmahl[37] von 1495, bei Dürers Selbstbildnis von 1500 und seinem Kupferstich Melencolia I von 1514.[* 19]

Auch in der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt. Als Faustformel verwendet man hier die Drittel-Regel.[38][39]

Goldener Schnitt von Martina Schettina (2009)

Zeitgenössische bildende Kunst[Bearbeiten]

In der zeitgenössischen bildenden Kunst wird der Goldene Schnitt nicht nur als Gestaltungsmerkmal verwendet, sondern ist in manchen Arbeiten selbst Thema oder zentraler Bildinhalt. Der Künstler Jo Niemeyer verwendet den Goldenen Schnitt als grundlegendes Gestaltungsprinzip in seinen Werken, die der konkreten Kunst zugeordnet werden.[40] Die Künstlerin Martina Schettina thematisiert den Goldenen Schnitt in ihren Arbeiten zum Fünfeck, bei welchem die Diagonalen einander im Goldenen Schnitt teilen.[41] Auch visualisiert sie Konstruktionsmethode und Formeln zum Goldenen Schnitt.[42]

Akustik und Musik[Bearbeiten]

Intervalle[Bearbeiten]

In der Musik werden Töne als konsonant empfunden, wenn das Verhältnis ihrer Schwingungsfrequenzen ein Bruch aus kleinen ganzen Zahlen ist. Dass eine Annäherung dieses Verhältnisses zum Goldenen Schnitt hin nicht unbedingt zu einem wohlklingenden Intervall führt, lässt sich daran erkennen, dass unter den Tonintervallen, deren Schwingungsverhältnis aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entspricht, höchstens die Quinte mit einem Schwingungsverhältnis von 3:2 herausragt. Die große Terz mit einem Schwingungsverhältnis von 5:4 wird schon als harmonischer empfunden als die große Sexte mit 5:3 und die kleine Sexte mit 8:5. Da ein Tonintervall im Goldenen Schnitt nur etwa 19 Cent größer ist als eine kleine Sexte, ist es für ein wenig geschultes Ohr nur schwer von dieser zu unterscheiden ( Audiobeispiel?/i).[43]

Komposition[Bearbeiten]

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich auch in Strukturkonzepten von Musikstücken vermutet. So hat der ungarische Musikwissenschaftler Ernö Lendvai versucht, den Goldenen Schnitt als wesentliches Gestaltungsprinzip der Werke Béla Bartóks nachzuweisen. Seiner Ansicht nach hat Bartók den Aufbau seiner Kompositionen so gestaltet, dass die Anzahl der Takte in einzelnen Formabschnitten Verhältnisse bilden, die den Goldenen Schnitt approximieren würden. Allerdings sind seine Berechnungen umstritten.[* 20]

In der Musik nach 1945 finden sich Beispiele für die bewusste Proportionierung nach den Zahlen der Fibonacci-Reihe, etwa im Klavierstück IX von Karlheinz Stockhausen oder in der Spektralmusik von Gérard Grisey.[44]

Instrumentenbau[Bearbeiten]

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet. Insbesondere beim Geigenbau soll er für besonders klangschöne Instrumente bürgen. So wird auch behauptet, dass der berühmte Geigenbauer Stradivari den Goldenen Schnitt verwendete, um die klanglich optimale Position der F-Löcher für seine Violinen zu berechnen. Diese Behauptungen basieren jedoch lediglich auf nachträglichen numerischen Analysen von Stradivaris Instrumenten. Ein Nachweis, dass Stradivari bewusst den Goldenen Schnitt zur Bestimmung ihrer Proportionen angewandt habe, existiert jedoch nicht.[45][46]

Informatik[Bearbeiten]

In der Informatik speichert man Daten in Hashtabellen, um darauf schnell zuzugreifen. Die Position h(k), an der ein Datensatz k in der Tabelle gespeichert wird, berechnet man durch eine Hashfunktion h. Für einen effizienten Zugriff müssen die Datensätze möglichst gleichmäßig verteilt in die Tabelle geschrieben werden. Eine Variante für die Hashfunktion ist die multiplikative Methode, bei der die Hashwerte für eine Tabelle der Größe m nach der folgenden Formel berechnet werden:

h(k) = \lfloor m (k A - \lfloor k A \rfloor)\rfloor.

Dabei stellen \lfloor \ldots \rfloor Gaußklammern dar, die den Klammerinhalt auf die nächste ganze Zahl abrunden. Der angesehene Informatiker Donald E. Knuth schlägt für die frei wählbare Konstante A=1/\Phi vor, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten.[47]

Eine weitere Verbindung zwischen der Informationstheorie und dem Goldenen Schnitt wurde durch Helmar Frank mit der Definition der Auffälligkeit hergestellt. Er konnte zeigen, dass der mathematische Wert des Maximums der Auffälligkeit sehr nah an das Verhältnis des Goldenen Schnitts herankommt.[48]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Historische Literatur[Bearbeiten]

  • Luca Pacioli; Constantin Winterberg (Hg. u. Übers.): Divina Proportione. Venedig 1509. Carl Graeser, Wien 1889 (im Internet-Archiv: Online, bei alo: Online)
  • Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Rudolph Weigel, Leipzig 1854 (bei Google Books)
  • Adolf Zeising: Das Normalverhältniss der chemischen und morphologischen Proportionen. Rudolph Weigel, Leipzig 1856 (bei Google Books)
  • Gustav Theodor Fechner: Zur experimentalen Ästhetik. Hirzel, Leipzig 1871.

Neuere Literatur[Bearbeiten]

  • Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg, Berlin, Oxford 1996. ISBN 3-86025-404-9.
  • Priya Hemenway: Divine Proportion. Phi in Art, Nature and Science. Sterling, New York 2005, ISBN 1-4027-3522-7. ( Priya Hemenway: Der Geheime Code: Die rätselhafte Formel, die Kunst, Natur und Wissenschaft bestimmt. Taschen Verlag, Köln 2008, ISBN 978-3-8365-0708-0.)
  • Roger Herz-Fischler: A mathematical History of the Golden Ratio. Dover Publications, New York 1998, ISBN 0-486-40007-7.
  • Jürgen Fredel: Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt. Lit, Hamburg 1998, ISBN 3-8258-3408-5.
  • Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. Aufstieg und Fall der göttlichen Proportion. Frommann-Holzboog, Stuttgart 2005, ISBN 3-7728-2218-5.
    Susanne Deicher: Rezension von: Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts, in: sehepunkte 5 (2005), Nr. 12 [15. Dezember 2005], Weblink
  • Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Teubner, Stuttgart 1993. ISBN 3-8154-2511-5.
  • Georg Markowsky: Misconceptions about the Golden Mean (PDF-Datei; 2,05 MB). The College Mathematics Journal, Band 23, Ausgabe 1, Januar 1992
  • Clement Falbo: The Golden Ratio: A Contrary Viewpoint (PDF-Datei; 625 kB). The College Mathematics Journal, Band 36, Ausgabe 2, März 2005

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Goldener Schnitt – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b W. Gellert et al: Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut, Leipzig, 1979, S. 184.
  2. Ben Green: Irrational and Transcendental Numbers. In: Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader: The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press 2008, ISBN 9780691118802, S. 222 (Auszug (Google))
  3. Forum Geometricorum Volume 5 (2005) 135–136. (PDF-Datei; 26 kB)
  4. Die hier auftretende Abweichung ist ungefähr 16-mal kleiner als die durch den Dirichletscher Approximationssatz garantierte (nämlich \tfrac{1}{49}). Bei der Näherung von \Phi durch \tfrac{13}{8} ist die Abweichung dagegen nur 2,2-mal kleiner als \tfrac{1}{64}.
  5. a) Serge Lang: Introduction to Diophantine Approximations, Springer-Verlag 1995, S. 9, b) Ivan Niven, Herbert S. Zuckermann, Hugh L. Montgomery: An Introduction to the Theory of Numbers. Wiley, 1960, 5. Auflage 1991, ISBN 0-471-54600-3, S. 338 (Theorem 7.13). Man beachte aber: dieser Satz schließt nicht aus, dass es außer diesen Brüchen \tfrac{p}{q} nicht noch weitere beste Approximationen geben kann. Zum Beispiel approximiert \tfrac{13}{4} die Zahl \pi besser als 3 und \tfrac{311}{99} approximiert \pi besser als \tfrac{22}{7}.
  6. Golden ratio. Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Golden_ratio&oldid=11236
  7. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, 20. Auflage, Gemeinschaftsauflage Verlag Nauka Moskau und BSB B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1981, S. 167
  8. Florian Jarre, Josef Stoer: Optimierung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1, S. 130ff. (Auszug (Google))
  9. W. Gellert et al.: Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S. 694.
  10. Allgemeine deutsche Real-Enzyklopädie für die gebildeten Stände. In zehn Bänden. Vierter Band (G und H). Fünfte Original-Ausgabe, F A. Brockhaus, Leipzig, 1819, S. 296.
  11. a b John J. O’Connor, Edmund F. RobertsonThe Golden ratio. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)
  12. Rudolf Haller: Elemente des Euklid. Edition Opera Platonis 2010, Buch II, Satz 11
  13. Wenn es zutrifft, dass Hippasos die Irrationalität am Fünfeck (und nicht am Viereck) entdeckt hat, so wäre er auch Erfinder des Goldenen Schnittes. Da aber genau das umstritten ist - siehe Leonid Zhmud (1997) S. 174f. (argumentiert für das Quadrat) und Kurt von Fritz: Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft, Berlin 1971, S. 564–569 (plädiert für das Fünfeck); Dirk Stegmann plädiert in Der Goldene Schnitt (PDF; 666 kB), S. 10 sehr überzeugend für Hippasos. Andrenfalls ist Eudoxos mit seinen Forschungen zur Proportionalität und als nachweisbarer Ideengeber für Euklid dann als Erfinder anzusehen.
  14. Leonardo da Pisa, Liber abbaci (cap. I, 7, dort unter anderen Aufgaben: Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur), hrsg. von Baldassare Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo, Band I, Roma: Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, 1857, S. 283f., Wiedergabe der Handschrift Florenz, Cod. magliabechiano cs cI, 2626, fol. 123v-124r, bei Heinz Lüneburg, Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, 2. überarb. und erw. Ausg., Mannheim u. a.: BI Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15462-4, nach S. 252; Wiedergabe des lateinischen Textes der Kaninchenaufgabe u. a. bei Bernd Thaller, Leonardo und der Goldene Schnitt (8. Dezember 2009, PDF; 3,02 MB), mit engl. Übersetzung bei Roberto Bignoni, The Golden Number – 3 –.
  15. Formalisierte Wiedergabe nach Heinz Lüneburg, Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, 2. überarb. und erw. Ausg., Mannheim u.a.: BI Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15462-4, S. 298
  16. Leonardo da Pisa, Liber abbaci, cap. 15, ed. Boncompagni S. 438, zu finden auch schon in der Wiedergabe von cap. 15 bei Guillaume Libri, Histoire des sciences mathématiques in Italie, Band II, Paris: Jules Renouard et C.ie, 1838, S. 430 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  17. Leonard Curchin / Roger Herz-Fischler, De quand date le premier rapprochement entre la suite de Fibonacci et la division en extrême et moyenne raison?, in: Centaurus 28,2 (1985), S. 129–138, S. 130
  18. Roger Herz-Fischler, A mathematical History of the Golden Ratio, Dover Publications, Minneola (New York) 1998, S. 158 (Section 31.J.iii)
  19. a b  Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Rudolph Weigel, Leipzig 1854, S. 264.
  20. a b  Marguerite Neveux, H. E. Huntley: Le nombre d'or. Radiographie d'un mythe suivi de La Divine Proportion. Éd. du Seuil, 1995, ISBN 9-782-02025-916-3.
  21.  Martin Ohm: Die Reine Elementarmathematik Bd II: Die ebene Raumgrößenlehre. Jonas Verlagsbuchhandlung, Berlin 1835, S. 194.
  22.  Gustav Theodor Fechner: Vorschule der aesthetik. Breitkopf & Härtel, 1876, S. 190.
  23. Camillo Sitte: Über den praktischen Wert der Lehre vom goldenen Schnitt. In: Camillo Sitte: Schriften zu Kunsttheorie und Kunstgeschichte. Böhlau 2010, ISBN 9783205784586, S. 435–446, bes. 438–439 (Auszug (Google))
  24. Underwood Dudley: Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will. Gabler 1999, ISBN 3764359781, S. 243–245 (Auszug (Google))
  25. Marguerite Neveux : « Le nombre d'or est une affabulation ». Webseite von La Recherche (populärwissenschaftliche Zeitschrift) (abgerufen 1. November 2011)
  26. Siehe Dvorak/Freistetter/Kurths: Chaos and stability in planetary systems (Springer Lecture Notes in Physics, 2006), S. 118–121 und den Wikipedia-Artikel über noble Zahlen.
  27. Remo Badii, A. Politi: Complexity: Hierarchical Structures and Scaling in Physics. Cambridge University Press 1999, ISBN 0-521-66385-7 , S. 46 (Auszug (Google))
  28. Marcus Chown: The golden rule – It links art, music and even architecture. Marcus Chown on an enigmatic number. The Guardian, 16. Januar 2003, abgerufen am 31. Dezember 2013.
  29. J. A. Nieto: A Link Between Black Holes and the Golden Ratio. 2. Juni 2011. arXiv:1106.1600. Abgerufen am 31. Dezember 2013.
  30.  D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, J.W. Cahn: Metallic phase with long range orientational order and no translation symmetry. In: Physical Review Letters. 53(20), 1984, S. 1951–1954.
  31. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatVorlage:Internetquelle/Wartung/Datum nicht im ISO-FormatThe Nobel Prize in Chemistry 2011 – Scientific Background. Nobelprize.org, 6. Mai 2012, abgerufen am 6. Mai 2012.
  32. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatVorlage:Internetquelle/Wartung/Datum nicht im ISO-FormatThe Nobel Prize in Chemistry 2011. Nobelprize.org, 2. Mai 2012, abgerufen am 2. Mai 2012.
  33. Horst Knietzsch: Film – gestern und heute: Gedanken und Daten zu 7 Jahrzehnten Geschichte der Filmkunst, Urania, Leipzig 1967, Snippet-Ansicht bei Google Books.
  34. Hierzu z. B.Altes Rathaus in Leipzig-Lexikon mit weiteren Nachweisen. Zuletzt aufgerufen am 3. Juni 2012.
  35.  Mario Livio: The golden ratio: The story of phi, the world's most astonishing number. Broadway Books, 2003, ISBN 9-780-76790-816-0, S. 177–178.
  36.  Mario Livio: The golden ratio: The story of phi, the world's most astonishing number. Broadway Books, 2003, ISBN 9-780-76790-816-0, S. 5.
  37. Bernhard Peter: Der Goldene Schnitt in Leonardos Abendmahl auf www.dr-bernhard-peter.de (abgerufen 1. November 2011)
  38. Michael Frye: Digitale Landschaftsfotografie: Fotografieren wie Ansel Adams und Co. Hüthig Jehle Rehm 2010, ISBN 978-3-8266-5896-9, S. 72 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  39. Garry Reynolds: Zen oder die Kunst der Präsentation: mit einfachen Ideen gestalten und präsentieren. Pearson Education 2008, ISBN 978-3-8273-2708-6, S. 151–152 (Auszug (Google))
  40. Bernhard Peter: Der Goldene Schnitt in der konkreten Kunst: Beispiele von Jo Niemeyer auf www.dr-bernhard-peter.de (abgerufen 1. November 2011)
  41. Bilder im virtuellen Mathe-Museum der TU Freiberg
  42. Mathe-Museum TU Freiberg
  43.  Helmut Reis: Der goldene Schnitt und seine Bedeutung für die Harmonik (= Orpheus-Schriftenreihe zu Grundfragen der Musik 54). Verlag für Systematische Musikwissenschaft, 1990, ISBN 9-783-92262-654-1.
  44.  Jonathan Kramer: The Fibonacci Series in Twentieth-Century Music. In: Journal of Music Theory. 17, Nr. 1, 1973, S. 110–148.
  45. How a Violin is Made. In Popular Mechanics, September 1943, S. 106–108 (Auszug (Google))
  46. Stewart Pollens: Stradivari. Cambridge University Press 2010, ISBN 978-0-521-87304-8, S. 239 (Auszug (Google))
  47. Thomas H. Cormen, Charles Leiserson, Ronald Linn Rivest & Clifford Stein: Introduction to Algorithms. 2. Auflage. MIT Press, 2001, ISBN 0-262-53196-8, S. 231–232
  48. Horst Völz: Computer und Kunst (= Akzent. 87). Urania-Verlag, Leipzig/Jena/Berlin 1988, ISBN 3-332-00220-1 (ab Seite 14 der PDF-Version; 8,70 MB)

  1. S. 101
  2. S. 26–29
  3. S. 157–161
  4. S. 87–91
  5. S. 10, 15
  6. S. 124
  7. S. 123
  8. S. 128
  9. S. 125
  10. S. 123
  11. S. 128
  12. S. 130–133
  13. S. 158–160
  14. S. 136–137
  15. S. 138
  16. S. 138–141
  17. S. 138
  18. S. 142–147
  19. S. 148–155
  20. S. 165–167