In der Mathematik ist eine Artin-Gruppe ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie . Diese besondere Klasse von Gruppe ist nach dem Mathematiker Emil Artin benannt.
Eine Artin-Gruppe ist eine Gruppe mit einer Präsentierung der Form
⟨
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
|
⟨
x
1
,
x
2
⟩
m
1
,
2
=
⟨
x
2
,
x
1
⟩
m
2
,
1
,
…
,
⟨
x
n
−
1
,
x
n
⟩
m
n
−
1
,
n
=
⟨
x
n
,
x
n
−
1
⟩
m
n
,
n
−
1
⟩
{\displaystyle {\Big \langle }x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}{\Big |}\langle x_{1},x_{2}\rangle ^{m_{1,2}}=\langle x_{2},x_{1}\rangle ^{m_{2,1}},\ldots ,\langle x_{n-1},x_{n}\rangle ^{m_{n-1,n}}=\langle x_{n},x_{n-1}\rangle ^{m_{n,n-1}}{\Big \rangle }}
mit
m
i
,
j
=
m
j
,
i
∈
{
2
,
3
,
…
,
∞
}
{\displaystyle m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}}
Für
m
<
∞
{\displaystyle m<\infty }
⟨
x
i
,
x
j
⟩
m
{\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{m}}
m
{\displaystyle m}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
⟨
x
i
,
x
j
⟩
3
=
x
i
x
j
x
i
{\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{3}=x_{i}x_{j}x_{i}}
oder
⟨
x
i
,
x
j
⟩
4
=
x
i
x
j
x
i
x
j
{\displaystyle \langle x_{i},x_{j}\rangle ^{4}=x_{i}x_{j}x_{i}x_{j}}
m
i
j
=
∞
{\displaystyle m_{ij}=\infty }
x
i
{\displaystyle x_{i}}
x
j
{\displaystyle x_{j}}
Zopf-Gruppen erhält man als Spezialfall mit
m
i
,
i
+
1
=
m
i
+
1
,
i
=
3
∀
i
{\displaystyle m_{i,i+1}=m_{i+1,i}=3\ \forall i}
und
m
i
,
j
=
2
∀
∣
i
−
j
∣>
1
{\displaystyle m_{i,j}=2\ \forall \mid i-j\mid >1}
Rechtwinklige Artin-Gruppen sind Artin-Gruppen mit
m
i
,
j
∈
{
2
,
∞
}
{\displaystyle m_{i,j}\in \left\{2,\infty \right\}}
für alle
i
,
j
{\displaystyle i,j}
