Ausgabenfunktion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Die Ausgabenfunktion ist eine in der Mikroökonomik verwendete Funktion, die angibt, wie viel ein Konsument minimal ausgeben muss, um ein gegebenes Nutzenniveau zu erreichen. Nutzenfunktion und Preise der Güter, mit denen der Nutzen erzielt werden kann, sind dabei vorgegeben.

Definition und Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ausgangspunkt für die Herleitung der Ausgabenfunktion ist derselbe wie der zur Herleitung der Hicks’schen Nachfrage. Er besteht im Ausgabenminimierungsproblem

unter den Nebenbedingungen .

(Details hierzu finden sich im Artikel Hicks’sche Nachfragefunktion.) Eine Lösung dieses mittels der Kuhn-Tucker-Methode lösbaren Optimierungsproblems bezeichnet man als Hicks’sche Nachfrage , wobei der Vektor der nachgefragten Gütermengen, der dazugehörige Preisvektor und ein ex ante gefordertes (Mindest)nutzenniveau ist. In Worten handelt es sich bei dieser Nachfrage also um diejenige Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen –, die erforderlich ist, um möglichst kostengünstig ein vorgegebenes Nutzenniveau zu erreichen. Setzt man die Hicks’sche Nachfrage nun wieder in die minimierte Funktion ein, so bezeichnet man die resultierende Funktion als Ausgabenfunktion . Es ist also

.

Während die Hicks’sche Nachfragefunktion die Gütermengen liefert, die im Ausgabenminimum nachgefragt werden, liefert die Ausgabenfunktion die Höhe der Ausgaben, welche dafür notwendig sind; mit anderen Worten ist das Argument des Minimums, während das tatsächliche Minimum ist, weshalb man bereits bei der obigen Darstellung des Minimierungsproblems direkt hätte postulieren können, dass es gleich der Ausgabenfunktion ist.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es lässt sich zeigen, dass unter den üblichen Voraussetzungen – stetig und streng monoton steigend – unter anderem folgende Eigenschaften aufweist[1]:

  • homogen vom Grade eins in , sodass und ;
  • monoton steigend in ;
  • streng monoton steigend in für ;
  • konkav in .

Zusammenhang zur indirekten Nutzenfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung der Nutzenfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ausgabenfunktion wurde oben aus der Nutzenfunktion heraus konstruiert. Unter bestimmten Voraussetzungen ist es darüber hinaus auch möglich, aus der Ausgabenfunktion die Nutzenfunktion zu konstruieren.

Herleitung der Nutzenfunktion aus der Ausgabenfunktion[2]: Sei die Nutzenfunktion u stetig, streng monoton steigend in und quasi-konkav in . Sei die Ausgabenfunktion. Dann ist die ursprüngliche, für die Konstruktion von verwendete Nutzenfunktion wie folgt gegeben:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Friedrich Breyer: Mikroökonomik. Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7.
  • Martin Browning: Dual Approaches to Utility. In: Salvador Barberà, Peter J. Hammond und Christian Seidl (Hrsg.): Handbook of Utility Theory. Bd. 1. Kluwer Academic Publishers, Boston 1998, ISBN 0-7923-8174-2.
  • Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
  • Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Vgl. hierfür weitgehend Jehle/Reny 2011, S. 32–39. Einige der Eigenschaften folgen auch schon unter der schwächeren Annahme der lokalen Nichtsättigung der zugrunde liegenden Präferenz-Indifferenz-Relation . Hierzu Mas-Colell/Whinston/Green 1995, S. 59. (Man bezeichnet eine Präferenzordnung als lokal nicht gesättigt, wenn für beliebiges und für jede -Umgebung um ein existiert, mit dem . Vgl. der Artikel Präferenzordnung.)
  2. Zum Beweis vgl. Browning 1999, S. 129 f.