Benutzer:Aska07/ma93

Allgemeines Verfahren

• 1. Zunächst versuchen, die Aufgabe selbst zu lösen.
• 2. Wenn es nicht gelingt: Hilfe benutzen.
• 3. Dann die Lösung kontrollieren. Wenn richig: Super, nächste Aufgabe !
• 4. Wenn falsch: versuchen, den richtigen Lösungsweg nachzuvollziehen.
• 5. Wenn das nicht gelingt: Telefonisch von Mitschülern oder Lehrer beraten lassen.
• 6. Etwas später Aufgabe nochmals rechnen, weiter wie bei 1.

S. 82/83 1abc 2ab 3ab

Erste Hilfe zu Aufgabe 1a

Aufgabe	Erste Hilfe
1a	Die Funktion $e^{ax+b}$ besitzt die Ableitung $a\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten, Lineare Kettenregel) Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 1a

Aufgabe	Zweite Hilfe
1a	Die Funktion $e^{ax+b}$ besitzt die Ableitung $a\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten, Lineare Kettenregel) Setze a = 2 und b = 0.

Lösung Aufgabe 1a

Aufgabe	Lösung
1a	$f'(x)=2\cdot e^{2x}$

Erste Hilfe zu Aufgabe 1b

Aufgabe	Erste Hilfe
1b	Die Funktion $e^{ax+b}$ besitzt die Ableitung $a\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten, Lineare Kettenregel) Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 1b

Aufgabe	Zweite Hilfe
1b	Die Funktion $e^{ax+b}$ besitzt die Ableitung $a\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten, Lineare Kettenregel) Setze a = -3 und b = 4. Lassen Sie sich nicht verwirren durch die Reihenfolge. a ist immer der Wert, der vor dem x steht !

Lösung Aufgabe 1b

Aufgabe	Lösung
1b	$f'(x)=-6\cdot e^{4-3x}$

Erste Hilfe zu Aufgabe 1c

Aufgabe	Erste Hilfe
1c	Die Produktregel (eingeführt am 6. November 2019) Das Produkt $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ besitzt die Ableitung $f'(x_{a})=u'(x_{a})\cdot v(x_{a})+u(x_{a})\cdot v'(x_{a})$ oder kurz: $(uv)'=u'v+uv'$ Suche geeignete Werte für u und v.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 1c

Aufgabe	Zweite Hilfe
1c	Die Produktregel (eingeführt am 6. November 2019) Das Produkt $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ besitzt die Ableitung $f'(x_{a})=u'(x_{a})\cdot v(x_{a})+u(x_{a})\cdot v'(x_{a})$ oder kurz: $(uv)'=u'v+uv'$ Setze u = x und $v=e^{-x}$.

Lösung Aufgabe 1c

Aufgabe	Lösung
1c	$f'(x)=(1-x)\cdot e^{-x}$ Falls in Ihrer Lösung zwei Exponentialterme vorkommen: Versuchen Sie es so umzuformen, dass es nur noch einen gibt.

Erste Hilfe zu Aufgabe 2a

Aufgabe	Erste Hilfe
2a	Die Stammfunktion von $e^{ax+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten, Umkehrung der Linearen Kettenregel) Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 2a

Aufgabe	Zweite Hilfe
2a	Die Stammfunktion von $e^{ax+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten, Umkehrung der Linearen Kettenregel) Wiederholen Sie zunächst die Aufgabe 1a. Das Einsetzen von a und b läuft hier genauso.

Lösung Aufgabe 2a

Aufgabe	Lösung
2a	${\tfrac {1}{2}}e^{2x}$

Erste Hilfe zu Aufgabe 2b

Aufgabe	Erste Hilfe
2b	Die Stammfunktion von $e^{ax+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten) Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 2b

Aufgabe	Zweite Hilfe
2b	Die Stammfunktion von $e^{ax+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten) Setze a = -2 und b = 4.

Lösung Aufgabe 2b

Aufgabe	Lösung
2b	$-{\tfrac {1}{2}}e^{4-2x}$

Lösung Aufgabe 3a

Aufgabe	Lösung
3a	Die Produktregel (eingeführt am 6. November 2019) Das Produkt $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ besitzt die Ableitung $f'(x_{a})=u'(x_{a})\cdot v(x_{a})+u(x_{a})\cdot v'(x_{a})$ oder kurz: $(uv)'=u'v+uv'$ Setze u = 2x + 1 und $v=e^{x}$. Wir leiten die Funktion F (x) nach der Produktregel ab und erhalten als Ableitung $u'v=2\cdot e^{x}$ $uv'=(2x+1)\cdot e^{x}$ Die Summe ist $(2x+3)\cdot e^{x}$

Lösung Aufgabe 3b

Aufgabe

Lösung

3b

Die Produktregel (eingeführt am 6. November 2019) Das Produkt $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ besitzt die Ableitung $f'(x_{a})=u'(x_{a})\cdot v(x_{a})+u(x_{a})\cdot v'(x_{a})$ oder kurz: $(uv)'=u'v+uv'$ Setze u = 2x und $v=e^{-2x}$. Wir leiten die Funktion F (x) nach der Produktregel ab und erhalten als Ableitung $u'v=2\cdot e^{-2x}$ $uv'=2x\cdot (-2)\cdot e^{-2x}$ Der Faktor -2 kommt aus der Linearen Kettenregel. Die Summe ist $(2-4x)\cdot e^{-2x}$

Aufgabe 84 / 1

Schwierigkeiten mit der Aufgabe? Dann wird sie aufgeteilt:

• 8411. Berechnung der Stammfunktion
• 8412. Bestimmung der Integrationsgrenzen
• 8413. Berechnung des Integrals

Oder haben Sie schon ein Ergebnis? Dann gehen Sie gleich zu "Lösung Aufgabe 8413 (Berechnung des Integrals)"

Erste Hilfe zu Aufgabe 8411 (Berechnung der Stammfunktion)

Aufgabe	Erste Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion
8411	Die Stammfunktion von $e^{ax+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel) Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 8411 (Berechnung der Stammfunktion)

Aufgabe	Zweite Hilfe
8411	Die Stammfunktion von $e^{ax+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel) Setze a = -1 und b = 0,5.

Lösung Aufgabe 8411 (Berechnung der Stammfunktion)

Aufgabe	Lösung
8411	$-e^{0,5-x}$

Lösung Aufgabe 8412 (Bestimmung der Integrationsgrenzen)

Aufgabe	Lösung
8412	Die Grenzen können einfach abgelesen werden, das zu bestimmende Integral ist $\int _{0,5}^{2}e^{0,5-x}dx$

Lösung Aufgabe 8413 (Berechnung des Integrals)

Aufgabe	Lösung
8413	A = 0,7769 Bei A = 0,777 haben Sie bestimmt auch richtig gerechnet und es sieht zwar schöner aus, entspricht aber nicht unserer Konvention "auf 4 gültige Stellen runden" Sie kommen nicht auf dieses Ergebnis ? Dann schauen Sie auf den Rechenweg (nächster Punkt)

Rechenweg Aufgabe 8413 (Berechnung des Integrals)

Aufgabe	Rechenweg
8413	Das zu bestimmende Integral ist $\int _{0,5}^{2}e^{0,5-x}dx$ Die Stammfunktion lautet $-e^{0,5-x}$ Also ist die gesuchte Fläche A = $\left[-e^{0,5-2}\right]-\left[-e^{0,5-0,5}\right]$ = $\left[-e^{-1,5}\right]-\left[-e^{0}\right]$ = $\left[-0,2231\right]+\left[1\right]$ = 0,7769

Aufgabe 85 / 4

Wir arbeiten zunächst das obere Beispiel auf dieser Seite durch.

Dann sehen Sie sich mal die Aufgabe 4 an.
Es sind zwei Funktionen, die ins Unendliche gehen, im Beispiel war es nur eine.
Frage 40. Können wir Aufgabe 4a mit den bisherigen Methoden überhaupt lösen und wenn ja, wie ?

Lösung 40 Können wir Aufgabe 4 mit den bisherigen Methoden überhaupt lösen und wenn ja, wie ?

Frage	Lösungsweg
40	Es geht in Aufgabe 4a um die Fläche zwischen zwei Funktionen. Wir wissen, dass wir für die Fläche zwischen zwei Funktionen einfach nur die Differenzfunktion integrieren. Die Differenzfunktion ist nur eine einzige Funktion, also können wir wie im Beispiel vorgehen.

Schwierigkeiten mit der Aufgabe? Dann wird sie aufgeteilt:

• 41. Bestimmung der Integrationsgrenzen füe ein endliches Intervall / Gibt es Schnittstellen ?
• 42. Berechnung der Stammfunktion von f
• 43. Berechnung der Stammfunktion von g
• 44. Berechnung der Stammfunktion der Differenzfunktion
• 45. Berechnung des endlichen Integrals
• 46. Überlegungen für den Grenzwert
• 47. Berechnung des Integrals
• 48. Lösung

Oder haben Sie schon ein Ergebnis? Dann gehen Sie gleich zu "Lösung".

Lösung Aufgabe 41 (Bestimmung der Integrationsgrenzen)

Aufgabe	Lösung
41	Für eine Schnittstelle von f und g müsste $e^{-x}=e^{-2x}$, also $-x=-2x$ gelten. Das geht nur für x = 0, und das ist sowieso die Integrationsgrenze. Wir brauchen uns also nicht um Schnittstellen zu kümmern und setzen zunächtst 0 und v als Grenzen (wie im Beispiel).

Erste Hilfe zu Aufgabe 42 (Berechnung der Stammfunktion von f)

Aufgabe	Erste Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion von f
42	Die Stammfunktion von $e^{-x+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel) Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 42 (Berechnung der Stammfunktion von f)

Aufgabe	Zweite Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion von f
42	Die Stammfunktion von $e^{ax+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel) Setze a = -1 und b = 0.

Lösung Aufgabe 42 (Berechnung der Stammfunktion von f)

Aufgabe	Lösung
42	$-e^{-x}$

Erste Hilfe zu Aufgabe 43 (Berechnung der Stammfunktion von g)

Aufgabe	Erste Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion von g
43	Die Stammfunktion von $e^{-x+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel) Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 43 (Berechnung der Stammfunktion von g)

Aufgabe	Zweite Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion von g
43	Die Stammfunktion von $e^{ax+b}$ ist ${\tfrac {1}{a}}\cdot e^{ax+b}$ (3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel) Setze a = -2 und b = 0.

Lösung Aufgabe 43 (Berechnung der Stammfunktion von g)

Aufgabe	Lösung zur Berechnung der Stammfunktion von g
43	$-0,5\cdot e^{-2x}$

Lösung Aufgabe 44 (Berechnung der Stammfunktion der Differenzfunktion)

Aufgabe	Lösung Berechnung der Stammfunktion der Differenzfunktion
44	Die Differenzfunktion ist f-g, also betrachten wir die Diffenz der Stammfunktionen von f und g $-e^{-x}-(-0,5\cdot e^{-2x})$ Das lässt sich vereinfachen zu $-e^{-x}+0,5\cdot e^{-2x}$

Lösung Aufgabe 45 (Berechnung des endlichen Integrals)

Aufgabe 45

Lösung Berechnung der Stammfunktion der Differenzfunktion

45

Die Differenzfunktion f-g beitzt die Stammfunktionen (siehe 44.) $-e^{-x}+0,5\cdot e^{-2x}$ Integrationsgrenzen sind 0 und v (siehe 41.) Wir berechnen also $\int _{0}^{v}(f-g)(x)dx$ $\int _{0}^{v}-e^{-x}+0,5\cdot e^{-2x}dx$ = $\left[-e^{-x}+0,5\cdot e^{-2x}\right]_{0}^{v}$ = $\left[-e^{-v}+0,5\cdot e^{-2v}\right]-\left[-e^{-0}+0,5\cdot e^{-2\cdot 0}\right]$ = $\left[-e^{-v}+0,5\cdot e^{-2v}\right]-\left[-1+0,5\cdot 1\right]$ = $\left[-e^{-v}+0,5\cdot e^{-2v}\right]-\left[-1+0,5\right]$ = $\left[-e^{-v}+0,5\cdot e^{-2v}\right]-\left[-0,5\right]$ = $-e^{-v}+0,5\cdot e^{-2v}+0,5$

Graph der Exponentialfunktion $y=e^{x}$ (rot) mit der Tangente (hellblau gestrichelte Linie) durch den Punkt 0/1

Vor dem Lesen der Lösung von 46. sehen Sie sich noch einmal die Funktion $y=e^{x}$ an.

Was passiert, wenn x immer größer wird, also
$\lim _{x\to \infty }e^{x}=???$

Was passiert, wenn x immer kleiner wird, also
$\lim _{x\to -\infty }e^{x}=???$

Und was ist
$\lim _{x\to \infty }e^{-x}=???$

Lösung Aufgabe 46 (Überlegungen für den Grenzwert)

Aufgabe 46

Überlegungen für den Grenzwert

47

Offensichtlich gilt $\lim _{x\to \infty }e^{x}=\infty$ Damit können wir nicht rechnen, die Fläche wäre unendlich groß, und alle unsere Rechenregeln gelten nur für endliche Flächen. Wenn x immer kleiner wird, gilt $\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$ Die Funktion geht sogar außerordentlich schnell gegen Null, im Graphen ist schon links von - 4 eigentlich nur noch Null zu erkennen. Und natürlich gilt auch $\lim _{x\to \infty }e^{-x}=0$. Das ist genau das selbe, nur anders aufgeschrieben.

Lösung Aufgabe 47 (Berechnung des unendlichen Integrals)

Aufgabe 47

Lösung Berechnung des unendlichen Integrals

47

Das endliche Integral ist (siehe 45.) $\int _{0}^{v}(f-g)(x)dx$ = $-e^{-v}+0,5\cdot e^{-2v}+0,5$ Wie im Beispiel auf S. 85 schieben wir v immer weiter nach rechts, d.h. wir betrachten den Grenzwert für v gegen unendlich. $\lim _{v\to \infty }\int _{0}^{v}(f-g)(x)dx=\lim _{v\to \infty }\left[-e^{-v}+0,5\cdot e^{-2v}+0,5\right]$ In der eckigen Klammer stehen jetzt drei Terme. Wenn v immer größer wird, passiert im Grenzübergang für v gegen unendlich Folgendes: der erste Term wird 0 (siehe 46.) der zweite Term wird auch 0, die Faktoren 0,5 und 2 können daran nichts ändern. Überlegen Sie sich, dass das für alle Faktoren gilt. Auch $\lim _{v\to \infty }1000\cdot e^{-v}$ wäre Null. (Völlig falsch wäre dagegen, zu glauben, man könne hier kürzen). Der dritte Term bleibt immer konstant, egal was v macht, weil v gar nicht vorkommt.

48. Lösung

48	Lösung
	A = 0,5

Kurvendiskussion S.90

S.90 /1

a1) Berechnen Sie die erste Ableitung von f.

Konzentrieren Sie sich zunächst auf die 1. Ableitung. Welche Form hat die Funktion, welche Regel passt dazu ?

Frage 901: Welche Regel brauche ich dazu ?

Frage	Antwort
901	Die Produktregel Das Produkt $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ besitzt die Ableitung $f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$ oder kurz: $(uv)'=u'v+uv'$ Wie wenden Sie die Regel an? Suchen Sie jetzt geeignete Werte für u und v.

Frage 902: Was setze ich für u und v ein ?

Frage	Antwort
902	Die Produktregel Das Produkt $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ besitzt die Ableitung $f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$ oder kurz: $(uv)'=u'v+uv'$ Setzen Sie u = (x - 1) und $v=e^{x}$. Leiten Sie jetzt u und v ab.

Frage 903: Wie ist die Ableitung von u und v ?

Frage	Antwort
903	Die Produktregel Das Produkt $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ besitzt die Ableitung $f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$ oder kurz: $(uv)'=u'v+uv'$ Setzen Sie u = (x - 1) und $v=e^{x}$. Die Ableitungen sind $u'=1$ und $v'=e^{x}$ Berechnen Sie f'(x) durch Anwendung der Produktregel für u, u', v und v'.

Frage 904: Wie berechne ich f'(x)?

Frage	Antwort
904	$u=(x-1)$ $u'=1$ $v=e^{x}$. $v'=e^{x}$ $f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$ $f'(x)=1\cdot e^{x}+(x-1)\cdot e^{x}$ Diese Lösung ist richtig, aber noch recht kompliziert. Bitte vereinfachen Sie sie so, dass das e nur noch einmal vorkommt

Frage 905: Wie vereinfache ich f'(x)?

Frage	Antwort
905	$u=(x-1)$ $u'=1$ $v=e^{x}$. $v'=e^{x}$ $f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$ $f'(x)=1\cdot e^{x}+(x-1)\cdot e^{x}$ $f'(x)=(1+(x-1))\cdot e^{x}$ $f'(x)=((1-1)+x)\cdot e^{x}$ $f'(x)=x\cdot e^{x}$

a2) Berechnen Sie die 2. und 3. Ableitung von f.

Jetzt dürfte es nicht mehr schwer sein, die 2. und 3. Ableitung zu berechnen. Die Rechnung mit u, u', v und v' verläuft genauso (natürlich jetzt ausgehend von f', bei Bedarf nach Hilfe bitte nachfragen) und wir erhalten

Lösung 906: Was ist $f''(x)$?

	Lösung
906	$f''(x)=(1+x)\cdot e^{x}$

Lösung 907: Was ist $f'''(x)$?

	Lösung
907	Das war doch bestimmt nicht schwierig, oder ? Bitte senden Sie Ihre Lösung für die 3. Ableitung jetzt per Textnachricht an den Lehrer. Sollte es bis jetzt noch Unklarheiten oder Fragen geben, so erwähnen Sie das bitte auch.

b) Untersuchung der Funktion auf Nullstellen

Lösung 908: Was sind die Nullstellen dieser Funktion ?

	Ansatz
908	$(x-1)\cdot e^{x}=0$ Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Der erste Faktor ist Null, nur wenn x = 1 ist. Der zweite Faktor kann nie Null werden, weil die e-Funktion die x-Achse nicht schneidet (siehe Abbildung weiter oben, zwischen 45. und 46.). Also ist x = 1 die einzige Nullstelle.

c1) Untersuchung der Funktion auf Extremstellen

Erinnern Sie sich an das 1. Semester: es gibt ein notwendiges Kriterium, das unbedingt erfüllt sein muss und mit dem Sie geeignete Kandidaten für ein mögliches Extremum bestimmen können, und ein hinreichendes Kriterium, mit welchem Sie die Existenz eines Extremums nachweisen können.

Satz 909: Wie lautet das notwendige Kriterium?

	Satz
909	Hat $f$ an einer Stelle $x_{0}$ ein lokales Extremum, so ist dort die erste Ableitung gleich null: $f'(x_{0})=0\,$.

Satz 910: Wie lautet ein hinreichendes Kriterium?

	Satz
910	Aus $f'(x_{0})=0\,$ und $f''(x_{0})\neq 0\,$ folgt: an der Stelle $x_{0}$ liegt ein lokales Extremum. Aus $f'(x_{0})=0\,$ und $f''(x_{0})<0\,$ folgt: an der Stelle $x_{0}$ liegt ein lokales Maximum. Aus $f'(x_{0})=0\,$ und $f''(x_{0})>0\,$ folgt: an der Stelle $x_{0}$ liegt ein lokales Minimum.

Ansatz 911: Wie lautet der Ansatz für die Berechnung des Extremums ?

	Ansatz
911	notwendiges Kriterium: $f'(x_{0})=0\,$

Frage 912: Wie berechne mit dem notwendigen Kriterium einen Kandidaten für ein Extremum ?

Frage	Antwort
912	notwendiges Kriterium: $f'(x_{0})=0\,$ In diesem Fall ist $f'(x)=x\cdot e^{x}$ Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Der erste Faktor ist Null, nur wenn x = 0 ist. Der zweite Faktor kann nie Null werden, weil die e-Funktion die x-Achse nicht schneidet (siehe Abbildung weiter oben, zwischen 45. und 46.). Also ist x = 0 der einzige mögliche Kandidat für ein Extremum.

Frage 913: Liegt dort ein Extremum und wenn ja, welcher Art ??

Frage	Antwort
913	hinreichendiges Kriterium: $f'(x_{0})=0\,$ ist erfüllt $f''(x_{0})=0\,$ ist noch zu zeigen $f''(x)=(1+x)\cdot e^{x}$ $f''(0)=(1+0)\cdot e^{0}=1\cdot 1=1>0$ Also ist x = 0 ein lokales Minimum.

c2) Untersuchung der Funktion auf Wendepunkte :

Erinnern Sie sich an das 1. Semester: es gibt ein notwendiges Kriterium, das unbedingt erfüllt sein muss und mit dem Sie geeignete Kandidaten für einen möglichen Wendepunkt bestimmen können, und ein hinreichendes Kriterium, mit welchem Sie die Existenz eines Wendepunktes nachweisen können. Das funktioniert fast genauso wie beim ersten Teil, denn ein Wendepunkt ist doch nichts anderes als ein Extremum der Ableitung.

Satz 914: Wie lautet das notwendige Kriterium?

	Satz
914	Hat $f$ an einer Stelle $x_{0}$ einen Wendepunkt, so ist dort die zweite Ableitung gleich null: $f''(x_{0})=0\,$.

Satz 915: Wie lautet ein hinreichendes Kriterium?

	Satz
915	Aus $f''(x_{0})=0\,$ und $f'''(x_{0})\neq 0\,$ folgt: an der Stelle $x_{0}$ liegt ein Wendepunkt.

Ansatz 916: Wie lautet der Ansatz für die Berechnung des Wendepunktes ?

	Ansatz
916	notwendiges Kriterium: $f''(x_{0})=0\,$

Frage 917: Wie berechne mit dem notwendigen Kriterium einen Kandidaten für einen Wendepunkt ?

Frage	Antwort
917	notwendiges Kriterium: $f''(x_{0})=0\,$ In diesem Fall ist $f''(x)=(1+x)\cdot e^{x}$ Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Der erste Faktor ist Null, nur wenn x = -1 ist. Der zweite Faktor kann nie Null werden, weil die e-Funktion die x-Achse nicht schneidet (siehe Abbildung weiter oben, zwischen 45. und 46.). Also ist x = -1 der einzige mögliche Kandidat für einen Wendepunkt.

Frage 918: Liegt wirklich ein dort ein Wendepunkt ?

Frage	Antwort
918	zu zeigen ist $f'''(-1)\neq 0\,$ Das schaffen Sie doch sicher, oder ? Die Antwort ist: Ja, dort liegt wirklich ein Wendepunkt.

d) Verhalten im Unendlichen  :

Frage 919: x wird immer größer (also „x konvergiert gegen plus unendlich“) - was passiert mit f(x) ?

Frage	Antwort
919	Die Funktionswerte werden offensichtlich auch immer größer, also auch f(x) „konvergiert gegen plus unendlich“ Mathematisch läßt sich das auch schreiben als $\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }(x-1)\cdot e^{x}=+\infty$

Frage 920: x wird immer kleiner (also „x konvergiert gegen minus unendlich“) - was passiert mit f(x) ?

Frage

Antwort

918

Die Funktionswerte bleiben offensichtlich positiv, aber werden beliebig klein, also f(x) „konvergiert gegen Null“ Mathematisch läßt sich das auch schreiben als $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\lim _{x\to -\infty }(x-1)\cdot e^{x}=0$ Übrigens: egal wie klein wir x auch wählen (etwa x = -1000), f(x) wird nie Null. Sie können das überprüfen, indem Sie x langsamer kleiner werden lassen: irgendwann wird f(x) so klein, dass es unter der Genauigkeit des Taschenrechners liegt, und dann erscheint nur noch Null.

Bergziegen-Hilfsaufgabe

Aufgabe: $12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{9x}=0$

Hilfe 1: Regel $e^{n+m}=e^{n}\cdot e^{m}$ anwenden

	Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 1	$12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{9x}=0$ $12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{7x}\cdot e^{2x}=0$

Hilfe 2: $e^{7x}$Ausklammern

	Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 2	$12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{9x}=0$ $12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{7x}\cdot e^{2x}=0$ $(12-3\cdot e^{2x})\cdot e^{7x}=0$

Hilfe 3: Ein Produkt ist Null, wenn...

	Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 3	$12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{9x}=0$ $12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{7x}\cdot e^{2x}=0$ $(12-3\cdot e^{2x})\cdot e^{7x}=0$ $(12-3\cdot e^{2x})=0$ Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Der zweite Faktor kann nie Null sein, als muss es der erste sein.

Hilfe 4: Vereinfachen

	Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 4	$12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{9x}=0$ $12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{7x}\cdot e^{2x}=0$ $(12-3\cdot e^{2x})\cdot e^{7x}=0$ $(12-3\cdot e^{2x})=0$ $12=3\cdot e^{2x}$ $3\cdot e^{2x}=12$ $e^{2x}=4$ Der Term $3\cdot e^{2x}$ wird auf beiden Seiten addiert. Zusätzlich wurden die Seiten vertauscht, damit x wie üblich links steht. Abschließend werden beide Seiten durch 3 geteilt.

Hilfe 5: Logarithmus

	Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 5	$12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{9x}=0$ $12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{7x}\cdot e^{2x}=0$ $(12-3\cdot e^{2x})\cdot e^{7x}=0$ $(12-3\cdot e^{2x})=0$ $12=3\cdot e^{2x}$ $3\cdot e^{2x}=12$ $e^{2x}=4$ $ln(e^{2x})=ln(4)$ $2x=ln(4)$ Auf beiden Seiten wird der Logarithmus gebildet. ln und e heben sich auf.

Hilfe 6: Ergebnis (mit Taschenrechner)

	Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 6	$12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{9x}=0$ $12\cdot e^{7x}-3\cdot e^{7x}\cdot e^{2x}=0$ $(12-3\cdot e^{2x})\cdot e^{7x}=0$ $(12-3\cdot e^{2x})=0$ $12=3\cdot e^{2x}$ $3\cdot e^{2x}=12$ $e^{2x}=4$ $ln(e^{2x})=ln(4)$ $2x=ln(4)$ $x=ln(4)/2$ $x=0,6931$ Taschenrechner, auf 4 gültige Stellen runden