Benutzer:Aska07/ma93

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Allgemeines Verfahren

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  • 1. Zunächst versuchen, die Aufgabe selbst zu lösen.
  • 2. Wenn es nicht gelingt: Hilfe benutzen.
  • 3. Dann die Lösung kontrollieren. Wenn richig: Super, nächste Aufgabe !
  • 4. Wenn falsch: versuchen, den richtigen Lösungsweg nachzuvollziehen.
  • 5. Wenn das nicht gelingt: Telefonisch von Mitschülern oder Lehrer beraten lassen.
  • 6. Etwas später Aufgabe nochmals rechnen, weiter wie bei 1.


S. 82/83 1abc 2ab 3ab

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Erste Hilfe zu Aufgabe 1a
Aufgabe Erste Hilfe
1a Die Funktion besitzt die Ableitung
(3. Regel im Kasten, Lineare Kettenregel)


Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 1a
Aufgabe Zweite Hilfe
1a Die Funktion besitzt die Ableitung
(3. Regel im Kasten, Lineare Kettenregel)


Setze a = 2 und b = 0.

Lösung Aufgabe 1a
Aufgabe Lösung
1a


Erste Hilfe zu Aufgabe 1b
Aufgabe Erste Hilfe
1b Die Funktion besitzt die Ableitung
(3. Regel im Kasten, Lineare Kettenregel)


Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 1b
Aufgabe Zweite Hilfe
1b Die Funktion besitzt die Ableitung
(3. Regel im Kasten, Lineare Kettenregel)


Setze a = -3 und b = 4.
Lassen Sie sich nicht verwirren durch die Reihenfolge. a ist immer der Wert, der vor dem x steht !

Lösung Aufgabe 1b
Aufgabe Lösung
1b


Erste Hilfe zu Aufgabe 1c
Aufgabe Erste Hilfe
1c Die Produktregel (eingeführt am 6. November 2019)

Das Produkt

besitzt die Ableitung

oder kurz:


Suche geeignete Werte für u und v.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 1c
Aufgabe Zweite Hilfe
1c Die Produktregel (eingeführt am 6. November 2019)

Das Produkt

besitzt die Ableitung

oder kurz:


Setze u = x und .

Lösung Aufgabe 1c
Aufgabe Lösung
1c


Falls in Ihrer Lösung zwei Exponentialterme vorkommen: Versuchen Sie es so umzuformen, dass es nur noch einen gibt.


Erste Hilfe zu Aufgabe 2a
Aufgabe Erste Hilfe
2a Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten, Umkehrung der Linearen Kettenregel)


Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 2a
Aufgabe Zweite Hilfe
2a Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten, Umkehrung der Linearen Kettenregel)


Wiederholen Sie zunächst die Aufgabe 1a. Das Einsetzen von a und b läuft hier genauso.

Lösung Aufgabe 2a
Aufgabe Lösung
2a


Erste Hilfe zu Aufgabe 2b
Aufgabe Erste Hilfe
2b Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten)


Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 2b
Aufgabe Zweite Hilfe
2b Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten)


Setze a = -2 und b = 4.

Lösung Aufgabe 2b
Aufgabe Lösung
2b


Lösung Aufgabe 3a
Aufgabe Lösung
3a Die Produktregel (eingeführt am 6. November 2019)

Das Produkt

besitzt die Ableitung

oder kurz:


Setze u = 2x + 1 und .

Wir leiten die Funktion F (x) nach der Produktregel ab und erhalten als Ableitung


Die Summe ist

Lösung Aufgabe 3b
Aufgabe Lösung
3b Die Produktregel (eingeführt am 6. November 2019)

Das Produkt

besitzt die Ableitung

oder kurz:


Setze u = 2x und .

Wir leiten die Funktion F (x) nach der Produktregel ab und erhalten als Ableitung


Der Faktor -2 kommt aus der Linearen Kettenregel.
Die Summe ist


Schwierigkeiten mit der Aufgabe? Dann wird sie aufgeteilt:

  • 8411. Berechnung der Stammfunktion
  • 8412. Bestimmung der Integrationsgrenzen
  • 8413. Berechnung des Integrals

Oder haben Sie schon ein Ergebnis? Dann gehen Sie gleich zu "Lösung Aufgabe 8413 (Berechnung des Integrals)"


Erste Hilfe zu Aufgabe 8411 (Berechnung der Stammfunktion)
Aufgabe Erste Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion
8411 Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel)


Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 8411 (Berechnung der Stammfunktion)
Aufgabe Zweite Hilfe
8411 Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel)


Setze a = -1 und b = 0,5.

Lösung Aufgabe 8411 (Berechnung der Stammfunktion)
Aufgabe Lösung
8411
Lösung Aufgabe 8412 (Bestimmung der Integrationsgrenzen)
Aufgabe Lösung
8412 Die Grenzen können einfach abgelesen werden, das zu bestimmende Integral ist

Lösung Aufgabe 8413 (Berechnung des Integrals)
Aufgabe Lösung
8413 A = 0,7769


Bei A = 0,777 haben Sie bestimmt auch richtig gerechnet und es sieht zwar schöner aus, entspricht aber nicht unserer Konvention "auf 4 gültige Stellen runden"
Sie kommen nicht auf dieses Ergebnis ? Dann schauen Sie auf den Rechenweg (nächster Punkt)

Rechenweg Aufgabe 8413 (Berechnung des Integrals)
Aufgabe Rechenweg
8413 Das zu bestimmende Integral ist


Die Stammfunktion lautet

Also ist die gesuchte Fläche
A = = = = 0,7769


Wir arbeiten zunächst das obere Beispiel auf dieser Seite durch.

Dann sehen Sie sich mal die Aufgabe 4 an.
Es sind zwei Funktionen, die ins Unendliche gehen, im Beispiel war es nur eine.
Frage 40. Können wir Aufgabe 4a mit den bisherigen Methoden überhaupt lösen und wenn ja, wie ?

Lösung 40 Können wir Aufgabe 4 mit den bisherigen Methoden überhaupt lösen und wenn ja, wie ?
Frage Lösungsweg
40 Es geht in Aufgabe 4a um die Fläche zwischen zwei Funktionen.


Wir wissen, dass wir für die Fläche zwischen zwei Funktionen einfach nur die Differenzfunktion integrieren.
Die Differenzfunktion ist nur eine einzige Funktion, also können wir wie im Beispiel vorgehen.

Schwierigkeiten mit der Aufgabe? Dann wird sie aufgeteilt:

  • 41. Bestimmung der Integrationsgrenzen füe ein endliches Intervall / Gibt es Schnittstellen ?
  • 42. Berechnung der Stammfunktion von f
  • 43. Berechnung der Stammfunktion von g
  • 44. Berechnung der Stammfunktion der Differenzfunktion
  • 45. Berechnung des endlichen Integrals
  • 46. Überlegungen für den Grenzwert
  • 47. Berechnung des Integrals
  • 48. Lösung

Oder haben Sie schon ein Ergebnis? Dann gehen Sie gleich zu "Lösung".

Lösung Aufgabe 41 (Bestimmung der Integrationsgrenzen)
Aufgabe Lösung
41 Für eine Schnittstelle von f und g müsste


, also
gelten.
Das geht nur für x = 0, und das ist sowieso die Integrationsgrenze.
Wir brauchen uns also nicht um Schnittstellen zu kümmern und setzen zunächtst 0 und v als Grenzen (wie im Beispiel).


Erste Hilfe zu Aufgabe 42 (Berechnung der Stammfunktion von f)
Aufgabe Erste Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion von f
42 Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel)


Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 42 (Berechnung der Stammfunktion von f)
Aufgabe Zweite Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion von f
42 Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel)


Setze a = -1 und b = 0.

Lösung Aufgabe 42 (Berechnung der Stammfunktion von f)
Aufgabe Lösung
42


Erste Hilfe zu Aufgabe 43 (Berechnung der Stammfunktion von g)
Aufgabe Erste Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion von g
43 Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel)


Suche geeignete Werte für a und b.

Zweite Hilfe zu Aufgabe 43 (Berechnung der Stammfunktion von g)
Aufgabe Zweite Hilfe zur Berechnung der Stammfunktion von g
43 Die Stammfunktion von ist
(3. Regel im Kasten S. 82, Umkehrung der Linearen Kettenregel)


Setze a = -2 und b = 0.

Lösung Aufgabe 43 (Berechnung der Stammfunktion von g)
Aufgabe Lösung zur Berechnung der Stammfunktion von g
43


Lösung Aufgabe 44 (Berechnung der Stammfunktion der Differenzfunktion)
Aufgabe Lösung Berechnung der Stammfunktion der Differenzfunktion
44

Die Differenzfunktion ist f-g, also betrachten wir die Diffenz der Stammfunktionen von f und g

Das lässt sich vereinfachen zu


Lösung Aufgabe 45 (Berechnung des endlichen Integrals)
Aufgabe 45 Lösung Berechnung der Stammfunktion der Differenzfunktion
45

Die Differenzfunktion f-g beitzt die Stammfunktionen (siehe 44.)

Integrationsgrenzen sind 0 und v (siehe 41.)
Wir berechnen also


=
=
=
=
=
=

Graph der Exponentialfunktion (rot) mit der Tangente (hellblau gestrichelte Linie) durch den Punkt 0/1

Vor dem Lesen der Lösung von 46. sehen Sie sich noch einmal die Funktion an.


Was passiert, wenn x immer größer wird, also


Was passiert, wenn x immer kleiner wird, also


Und was ist

Lösung Aufgabe 46 (Überlegungen für den Grenzwert)
Aufgabe 46 Überlegungen für den Grenzwert
47


Offensichtlich gilt

Damit können wir nicht rechnen, die Fläche wäre unendlich groß, und alle unsere Rechenregeln gelten nur für endliche Flächen.


Wenn x immer kleiner wird, gilt

Die Funktion geht sogar außerordentlich schnell gegen Null, im Graphen ist schon links von - 4 eigentlich nur noch Null zu erkennen.


Und natürlich gilt auch
.
Das ist genau das selbe, nur anders aufgeschrieben.

Lösung Aufgabe 47 (Berechnung des unendlichen Integrals)
Aufgabe 47 Lösung Berechnung des unendlichen Integrals
47

Das endliche Integral ist (siehe 45.)
=
Wie im Beispiel auf S. 85 schieben wir v immer weiter nach rechts, d.h. wir betrachten den Grenzwert für v gegen unendlich.


In der eckigen Klammer stehen jetzt drei Terme. Wenn v immer größer wird, passiert im Grenzübergang für v gegen unendlich Folgendes:

  • der erste Term wird 0 (siehe 46.)
  • der zweite Term wird auch 0, die Faktoren 0,5 und 2 können daran nichts ändern. Überlegen Sie sich, dass das für alle Faktoren gilt. Auch wäre Null. (Völlig falsch wäre dagegen, zu glauben, man könne hier kürzen).
  • Der dritte Term bleibt immer konstant, egal was v macht, weil v gar nicht vorkommt.
48. Lösung
48 Lösung
A = 0,5

Kurvendiskussion S.90

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S.90 /1

a1) Berechnen Sie die erste Ableitung von f.

Konzentrieren Sie sich zunächst auf die 1. Ableitung. Welche Form hat die Funktion, welche Regel passt dazu ?

Frage 901: Welche Regel brauche ich dazu ?
Frage Antwort
901 Die Produktregel

Das Produkt

besitzt die Ableitung

oder kurz:


Wie wenden Sie die Regel an?
Suchen Sie jetzt geeignete Werte für u und v.

Frage 902: Was setze ich für u und v ein ?
Frage Antwort
902 Die Produktregel

Das Produkt

besitzt die Ableitung

oder kurz:


Setzen Sie u = (x - 1) und .
Leiten Sie jetzt u und v ab.

Frage 903: Wie ist die Ableitung von u und v ?
Frage Antwort
903 Die Produktregel

Das Produkt

besitzt die Ableitung

oder kurz:


Setzen Sie u = (x - 1) und .
Die Ableitungen sind und
Berechnen Sie f'(x) durch Anwendung der Produktregel für u, u', v und v'.

Frage 904: Wie berechne ich f'(x)?
Frage Antwort
904





.




Diese Lösung ist richtig, aber noch recht kompliziert.
Bitte vereinfachen Sie sie so, dass das e nur noch einmal vorkommt

Frage 905: Wie vereinfache ich f'(x)?
Frage Antwort
905





.


a2) Berechnen Sie die 2. und 3. Ableitung von f.

Jetzt dürfte es nicht mehr schwer sein, die 2. und 3. Ableitung zu berechnen. Die Rechnung mit u, u', v und v' verläuft genauso (natürlich jetzt ausgehend von f', bei Bedarf nach Hilfe bitte nachfragen) und wir erhalten

Lösung 906: Was ist ?
Lösung
906
Lösung 907: Was ist ?
Lösung
907 Das war doch bestimmt nicht schwierig, oder ?
Bitte senden Sie Ihre Lösung für die 3. Ableitung jetzt per Textnachricht an den Lehrer.
Sollte es bis jetzt noch Unklarheiten oder Fragen geben, so erwähnen Sie das bitte auch.


b) Untersuchung der Funktion auf Nullstellen

Lösung 908: Was sind die Nullstellen dieser Funktion ?
Ansatz
908


Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Der erste Faktor ist Null, nur wenn x = 1 ist.
Der zweite Faktor kann nie Null werden, weil die e-Funktion die x-Achse nicht schneidet (siehe Abbildung weiter oben, zwischen 45. und 46.).

Also ist x = 1 die einzige Nullstelle.

c1) Untersuchung der Funktion auf Extremstellen

Erinnern Sie sich an das 1. Semester: es gibt ein notwendiges Kriterium, das unbedingt erfüllt sein muss und mit dem Sie geeignete Kandidaten für ein mögliches Extremum bestimmen können, und ein hinreichendes Kriterium, mit welchem Sie die Existenz eines Extremums nachweisen können.

Satz 909: Wie lautet das notwendige Kriterium?
Satz
909

Hat an einer Stelle ein lokales Extremum, so ist dort die erste Ableitung gleich null:

.
Satz 910: Wie lautet ein hinreichendes Kriterium?
Satz
910

Aus und folgt: an der Stelle liegt ein lokales Extremum.

Aus und folgt: an der Stelle liegt ein lokales Maximum.

Aus und folgt: an der Stelle liegt ein lokales Minimum.

Ansatz 911: Wie lautet der Ansatz für die Berechnung des Extremums ?
Ansatz
911 notwendiges Kriterium:
Frage 912: Wie berechne mit dem notwendigen Kriterium einen Kandidaten für ein Extremum ?
Frage Antwort
912 notwendiges Kriterium:


In diesem Fall ist


Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Der erste Faktor ist Null, nur wenn x = 0 ist.
Der zweite Faktor kann nie Null werden, weil die e-Funktion die x-Achse nicht schneidet (siehe Abbildung weiter oben, zwischen 45. und 46.).

Also ist x = 0 der einzige mögliche Kandidat für ein Extremum.

Frage 913: Liegt dort ein Extremum und wenn ja, welcher Art ??
Frage Antwort
913 hinreichendiges Kriterium:
ist erfüllt
ist noch zu zeigen



Also ist x = 0 ein lokales Minimum.


c2) Untersuchung der Funktion auf Wendepunkte :

Erinnern Sie sich an das 1. Semester: es gibt ein notwendiges Kriterium, das unbedingt erfüllt sein muss und mit dem Sie geeignete Kandidaten für einen möglichen Wendepunkt bestimmen können, und ein hinreichendes Kriterium, mit welchem Sie die Existenz eines Wendepunktes nachweisen können. Das funktioniert fast genauso wie beim ersten Teil, denn ein Wendepunkt ist doch nichts anderes als ein Extremum der Ableitung.

Satz 914: Wie lautet das notwendige Kriterium?
Satz
914

Hat an einer Stelle einen Wendepunkt, so ist dort die zweite Ableitung gleich null:

.
Satz 915: Wie lautet ein hinreichendes Kriterium?
Satz
915

Aus und folgt: an der Stelle liegt ein Wendepunkt.

Ansatz 916: Wie lautet der Ansatz für die Berechnung des Wendepunktes ?
Ansatz
916 notwendiges Kriterium:
Frage 917: Wie berechne mit dem notwendigen Kriterium einen Kandidaten für einen Wendepunkt ?
Frage Antwort
917 notwendiges Kriterium:


In diesem Fall ist


Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Der erste Faktor ist Null, nur wenn x = -1 ist.
Der zweite Faktor kann nie Null werden, weil die e-Funktion die x-Achse nicht schneidet (siehe Abbildung weiter oben, zwischen 45. und 46.).

Also ist x = -1 der einzige mögliche Kandidat für einen Wendepunkt.

Frage 918: Liegt wirklich ein dort ein Wendepunkt ?
Frage Antwort
918 zu zeigen ist


Das schaffen Sie doch sicher, oder ?
Die Antwort ist: Ja, dort liegt wirklich ein Wendepunkt.

d) Verhalten im Unendlichen  :

Frage 919: x wird immer größer (also „x konvergiert gegen plus unendlich“) - was passiert mit f(x) ?
Frage Antwort
919 Die Funktionswerte werden offensichtlich auch immer größer, also auch f(x) „konvergiert gegen plus unendlich“


Mathematisch läßt sich das auch schreiben als


Frage 920: x wird immer kleiner (also „x konvergiert gegen minus unendlich“) - was passiert mit f(x) ?
Frage Antwort
918 Die Funktionswerte bleiben offensichtlich positiv, aber werden beliebig klein, also f(x) „konvergiert gegen Null“


Mathematisch läßt sich das auch schreiben als



Übrigens: egal wie klein wir x auch wählen (etwa x = -1000), f(x) wird nie Null.
Sie können das überprüfen, indem Sie x langsamer kleiner werden lassen: irgendwann wird f(x) so klein, dass es unter der Genauigkeit des Taschenrechners liegt, und dann erscheint nur noch Null.

Bergziegen-Hilfsaufgabe

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Aufgabe:

Hilfe 1: Regel anwenden
Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 1

Hilfe 2: Ausklammern
Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 2


Hilfe 3: Ein Produkt ist Null, wenn...
Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 3





Ein Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Der zweite Faktor kann nie Null sein, als muss es der erste sein.

Hilfe 4: Vereinfachen
Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 4








Der Term wird auf beiden Seiten addiert. Zusätzlich wurden die Seiten vertauscht, damit x wie üblich links steht. Abschließend werden beide Seiten durch 3 geteilt.

Hilfe 5: Logarithmus
Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 5










Auf beiden Seiten wird der Logarithmus gebildet. ln und e heben sich auf.

Hilfe 6: Ergebnis (mit Taschenrechner)
Bergziegen-Hilfsaufgabe
Hilfe 6












Taschenrechner, auf 4 gültige Stellen runden