Benutzer:Binse/O- und U-Topologien

Eine O-Topologie auf einer Grundmenge $X$ ist eine Menge ${\mathcal {T}}$ von Teilmengen von $X,$ die offen genannt werden und die den folgenden Axiomen genügt.

1. T_1: $\emptyset \in {\mathcal {T}},\,X\in {\mathcal {T}},$ $\emptyset$ und $X$ sind offen,
2. T_2: der Durchschnitt von endlich vielen offenen Mengen ist offen,
3. T_3: die Vereinigung von beliebig vielen offenen Mengen ist offen.

Bemerkung: Formal ist die Vereinigung einer leeren Menge von Mengen (also Anzahl=0) die leere Menge (Element liegt in allen ..., Da es keine Mengen gibt, in denen es liegen soll, trifft das auf kein Element zu). Analog: Durchschnitt von Null Mengen ist $X$. Element muss in Mengen liegen, die es aber nicht gibt, keine Bedingung, immer wahr. Außerdem ist Null endlich. Demnach wäre Axiom 1 entbehrlich.

Eine U-Topologie ${\mathcal {H}}$ Ist eine Menge von Umgebungssystemen ${\mathcal {U}}(x)$ für jedes $x\in X$ (deren Elemente Umgebungen von $x$ heißen), die die sogenannten Hausdorff-Axiome erfüllen.

1. H_1: $x\in U$ für jedes $U\in {\mathcal {U}},\,\,[X$ ist Umgebung für jedes $x\in X].$
2. H_2: Ist $U$ eine Umgebung von $x$ und $U'\supseteq U,$ so ist auch $U'$ Umgebung von $x.$
3. H_3: Der Durchschnitt von zwei (oder${\displaystyle }$ endlich vielen) Umgebungen von $x$ ist eine Umgebung von $x.$
4. H_4: In jeder Umgebung $U$ von $x$ gibt es eine Umgebung $V$ von $x,$ so dass $U$ Umgebung für jedes $y\in V$ ist.

Bemerkung: Ich bezweifle, dass Hausdorff die Möglichkeit bewusst zugelassen hat, dass ${\mathcal {U}}(x)=\emptyset$ ist, ein $x$ also gar keine Umgebung hat. Ein Missverständnis scheint leicht möglich, da Hausdorf sicherlich verbal formuliert hat. Der Zusatz in [...], $X\in {\mathcal {U}}(x),$ stammt von mir.

Jede dieser Topologien induziert eine Topologie vom anderen Typ. Einerseits definiert eine O-Topologie ${\mathcal {T}}$ eine U-Topologie ${\mathcal {H}}'$ durch

$\phi {:}\,{\mathcal {T}}\mapsto {\mathcal {H}}'$, wobei $U'\!\in {\mathcal {U}}'(x)$ ist, wenn es ein ${\mathcal {O}}\in {\mathcal {T}}$ gibt mit $x\in {\mathcal {O}}\subseteq U'.$

Die Axiome H1, ..., H4 für ${\mathcal {H}}'$ meine ich, kontrolliert zu haben:

Zunächst ist jede offene Menge $U',$ die $x$ enthält, eine Umgebung von $x,$ denn $x\in {\mathcal {O}}\subseteq U'$ gilt mit ${\mathcal {O}}=U'.$ Insbesondere ist stets $X\in {\mathcal {U}}'(x).$-- Dass $x\in U'$ ist, ist mit $x\in \emptyset \subseteq$ direkt gefordert.-- Gibt es ${\mathcal {O}}\in {\mathcal {T}}$ mit $x\in {\mathcal {O}}\subseteq U'$ und ist $U'\subseteq V',$ so $x\in {\mathcal {O}}\subseteq V',$ also $V'\in {\mathcal {U}}'(x).$-- Sind $U_{1}',\,U_{2}'\in {\mathcal {U}}'(x)$, so $x\in {\mathcal {O}}_{i}\subseteq U_{i}',$ daher $x\in {\mathcal {O}}_{1}\cap {\mathcal {O}}_{2}\subseteq U_{1}'\cap U_{2}',$ also $U_{1}'\cap U_{2}'\in {\mathcal {U}}'(x).$-- Ist $x\in {\mathcal {O}}\subseteq U',$ so ist $V'={\mathcal {O}}$ eine offene Umgebung von $x$ und jedes $y\in V',$ da $V'\!\subseteq U'$ ist, hat $U'$ zur Umgebung. Damit gilt auch H4 für ${\mathcal {H}}'.$

$\psi {:}\,{\mathcal {H}}\mapsto {\mathcal {T}}'$, wobei ${\mathcal {O}}'\in {\mathcal {T}}',$ also offen ist, wenn ${\mathcal {O}}'$ eine Umgebung für jedes seiner Elemente ist.

${\displaystyle }$

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