- eine Funktion leicht integrierbar, z.B.:
- Polynome:
(der Grad nimmt zu)
- Exponentialfunktion:
(bleibt unverändert)
- Sinus und Cosinus gehen zyklisch ineinander über:
,
, ...
- andere Funktion wird durch Differenzieren vereinfacht
- Polynome:
(der Grad nimmt ab)
- insbesondere verschwindet
identisch.
- Logarithmus
![{\displaystyle {\frac {\ln x}{dx}}={\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fbf47aeb72f600e67c4f58a029558c97e9c51b0)
Den Umstand, dass jeder arithmetische Ausdruck beliebig oft den unsichtbaren Faktor 1 beinhaltet, kann man ausnutzen, um die partielle Integration darauf anzuwenden.
Beispiel:
Aufgabe: Berechnen Sie irgendwie:
Dem mit dem Hammer ist alles ein Nagel und ich stehe auf partielle Integration:
Also fangen wir an:
Nun gut, kann man das weiter abräumen? Glücklicherweise hilft die wohlbekannte Beziehung aus der Grundschule: ;o)
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \cos^2(x) = 1-\sin^2(x)}
Damit gilt:
Setzen wir ein:
Hurra, da steigt ein Phönix aus der Asche, allerdings nur zum Teil, sozusagen ein Flügel:
Immerhin ist das Problem ein Stück weit abgeräumt und lässt sich zurückführen auf die Aufgabe:
Berechnen Sie irgendwie:
Wohlan:
Und wieder hilft das 'Grundschulwissen':
Setzen wir ein:
Wie schön! Da hüpft der zweite halbe Phönix aus der Asche:
Nun kommen wir zum Endspurt:
Und damit:
Mathematik macht einfach Spaß! :o)