Benutzer:Hfst/Separationstheorem

Das Separationstheorem ist ein fundamentaler Satz für den Entwurf von Zustandsreglern mit Beobachtern. Er besagt, dass die Eigenwerte eine Zustandsregelung ohne Beobachter nicht verschoben werden, wenn die Zustandsgrößen von einem Beobachter rekonstruiert werden. Die Pole des Beobachters treten zu den Polen hinzu. Damit kann zunächst der Regler ohne Berücksichtigung des notwendigen Beobachters entworfen werden. Dieser wird dann in einem zweiten Entwurfsschritt ergänzt.

Weiterhin kann gezeigt werden, dass das Führungsverhalten nur von den Polen der Regelung bestimmt wird, während des Störverhalten von den Polen der Regelung und des Beobachters bestimmt wird.

Herleitung

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Der Beobachter wird durch

${\dot {\hat {\mathbf {x} }}}={\hat {\mathbf {A} }}{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {B} }}\mathbf {u} +\mathbf {L} (\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }})$ (1)

beschrieben. Aufgrund von Modellfehlern wird zwischen ${\hat {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} -\Delta \mathbf {A}$, der Systemmatrix des Beobachters und $\mathbf {A}$, der Systemmatrix der Strecke unterschieden. Entsprechendes gilt für ${\hat {\mathbf {B} }}$ und $\mathbf {B}$.

Für den Regler gilt

$\mathbf {u} =\mathbf {V} \mathbf {w} -\mathbf {R} {\hat {\mathbf {x} }}$ (2)

und für die Strecke

${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} +\mathbf {B} \mathbf {u} +\mathbf {G} \mathbf {f}$ (3)

wobei $\mathbf {G}$ die Eingangsmatrix der Störgrößen und $\mathbf {f}$ die Störgrößen selber sind.

Mit

${\tilde {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }}\Leftrightarrow {\hat {\mathbf {x} }}=\mathbf {x} -{\tilde {\mathbf {x} }}$

$\mathbf {u} =\mathbf {V} \mathbf {w} -\mathbf {R} \mathbf {x} +\mathbf {R} {\tilde {\mathbf {x} }}$

kann man nun schreiben:

${\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x} +\mathbf {B} (\mathbf {V} \mathbf {w} -\mathbf {R} \mathbf {x} +\mathbf {R} {\tilde {\mathbf {x} }})+\mathbf {G} \mathbf {f}$

${\dot {\mathbf {x} }}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {R} )\mathbf {x} +\mathbf {B} \mathbf {R} {\tilde {\mathbf {x} }}+\mathbf {B} \mathbf {V} \mathbf {w} +\mathbf {G} \mathbf {f}$

und

${\dot {\tilde {\mathbf {x} }}}=$

${\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\{\hat {\mathbf {x} }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {R} &|&\mathbf {B} \mathbf {R} \\\Delta \mathbf {A} -\Delta \mathbf {B} \,\mathbf {R} &|&\mathbf {A} -\Delta \mathbf {A} -\mathbf {L} +\Delta \mathbf {B} \,\mathbf {R} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\{\hat {\mathbf {x} }}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\mathbf {G} \\\mathbf {0} \end{pmatrix}}\mathbf {f}$

Im Idealfall sind die realen und die Modellgrößen $\mathbf {A}$, $\mathbf {B}$ identisch, so dass man schreiben kann.

${\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\{\tilde {\mathbf {x} }}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {R} &|&\mathbf {B} \mathbf {R} \\\mathbf {0} &|&\mathbf {A} -\mathbf {L} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {x} \\{\hat {\mathbf {x} }}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\mathbf {G} \\\mathbf {0} \end{pmatrix}}\mathbf {f}$